专题13立体几何中的向量方法-20xx年高考数学理备考易错点专项复习

专题13立体几何中的向量方法-20xx年高考数学理备考易错点专项复习内容摘要：

1 , 1 , 2) , ( 0 , 0 , 2) , ( 1 , 0 , 0)A B C D E F G      ，. （ I）证明：依题意，  ( 2 , 0 , 0) , 1 , 1 , 2A D A F  .设  1 ,n x y z 为平面 ADF 的法向量，则 1100n ADn AF ，即 2020xx y z    .不妨设 1z ，可得  1 0,2,1n  ，又  0,1, 2EG ，可得 1 0EG n，又因为直线 EG ADF 平 面 ，所以 //EG ADF平 面 . （ II ） 解 ： 易 证 ，  1,1,0OA 为平面 OEF 的一个法向量 . 依 题 意 ，   1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2E F CF  .设  2 ,n x y z 为平面 CEF 的法向量，则 2200n EFn CF ，即020xyx y z    .不妨设 1x ，可得  2 1, 1,1n  . 因此有 2226c o s , 3OA nOA nOA n   ，于是2 3s in , 3OA n ，所以，二面角O EF C的正弦值为 33 . 9.【 2021年高考北京理数】（本小题 14分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ， PA PD ， PA PD ， AB AD ， 1AB ， 2AD ， 5AC CD. （ 1）求证： PD 平面 PAB ； （ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （ 3）在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 //BM 平面 PCD。 若存在，求 AMAP 的值；若不存在，说明理由 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2） 33 ；（ 3）存在， 14AMAP 【解析】（ 1）因为平面 PAD 平面 ABCD ， AB AD ， 所以 AB 平面 PAD ，所以 PDAB ， 又因为 PDPA ，所以 PD 平面 PAB ； （ 2）取 AD 的中点 O ，连结 PO ， CO ， 因为 PA PD ，所以 ADPO . 又因为 PO 平面 PAD ，平面 PAD 平面 ABCD ， 所以 PO 平面 ABCD . 因为 CO 平面 ABCD ，所以 PO CO . 因为 CDAC ，所以 ADCO . 如图建立空间直角坐标系 xyzO ，由题意得， )1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0( PDCBA . 设平面 PCD 的法向量为 ),( zyxn ，则   ,0,0PCn PDn即   ,02 ,0zx zy 令 2z ，则 2,1  yx . 所以 )2,2,1( n . 又 )1,1,1( PB ，所以33,c o s  PBn PBnPBn. 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 33 . 10.【 2021高考浙江理数】 (本题满分 15分 )如图 ,在三棱台 ABC DEF 中 ,平面 BCFE 平面 ABC , =90ACB ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求证： EF⊥ 平面 ACFD； (II)求二面角 BADF的平面角的余弦值 . 【答案】（ I）证明见解析；（ II） 34 ． 【解析】（ Ⅰ ）延长 AD ， BE ， CF 相交于一点 K ，如图所示． 因为平面 BCFE 平面 ABC ，且 AC BC ，所以 AC 平面 BCK ，因此 BF AC ． 又因为 //EF BC ， 1BE EF FC  ， 2BC ， 所以 BCK△ 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF CK ． 所以 BF 平面 ACFD ． （ Ⅱ ）方法一：过点 F 作 FQ AK 于 Q，连结 BQ ． 因为 BF 平面 ACK ，所以 BF AK ，则 AK 平面 BQF ，所以 BQ AK ． 所以 BQF 是二面角 B AD F的平面角． 在 Rt ACK△ 中， 3AC ， 2CK ，得 3 1313FQ ． 在 Rt BQF△ 中， 3 1313FQ ， 3BF ，得 3cos 4BQF． 所以二面角 B AD F的平面角的余弦值为 34 ． 方法二：如图，延长 AD ， BE ， CF 相交于一点 K ，则 BCK△ 为等边三角形． 取 BC 的中点 O ，则 KO BC ，又平面 BCFE 平面 ABC ，所以， KO 平面 ABC ． 以点 O 为原点，分别以射线 OB ， OK 的方向为 x ， z 的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz ． 由题意得  1,0,0B ，  1,0,0C  ， (0,0, 3)K ，  1, 3,0A  ， 13( ,0, )22E ， 13F( ,0, )22 ． 因此，  0,3,0AC ，  1,3, 3AK  ，  2,3,0AB ． 设平面 ACK 的法向量为  1 1 1,x y zm ，平面 ABK 的法向量为  2 2 2,x y zn ． 由 00ACAK mm，得 11 1 1303 3 0yx y z  ，取  3,0, 1m ； 由 00ABAK nn，得 222 2 22 3 03 3 0xyx y z  ，取  3, 2, 3n ． 于是， 3c o s ,4mnmn mn． 所以，二面角 B AD F的平面角的余弦值为 34 ． 易错起源 利用向量证明平行与垂直 例 如图，在直三棱柱 ADE— BCF中，面 ABFE和面 ABCD都是正方形且互相垂直，点 M为 AB的中点，点 O为 DF的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥ 平面 BCF； (2)平面 MDF⊥ 平面 EFCD. 证明 方法一 由题意，得 AB， AD， AE两两垂直，以点 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为 1，则 A(0,0,0)， B(1， 0,0)， C(1,1,0)， D(0,1,0)， F(1,0,1)， M 12， 0， 0 ，O 12， 12， 12 . (1)OM→ ＝  0，－ 12，－ 12 ， BA→ ＝ (－ 1,0,0)， ∴ OM→ BA→ ＝ 0, ∴ OM→ ⊥ BA→ . ∵ 棱柱 ADE— BCF是直三棱柱， ∴ AB⊥ 平面 BCF， ∴ BA→ 是平面 BCF的一个法向量， 且 OM⊄平面 BCF， ∴ OM∥ 平面 BCF. (2)设平面 MDF与平面 EFCD的一个法向量分别为 n1＝ (x1， y1， z1)， n2＝ (x2， y2， z2)． ∵ DF→ ＝ (1，－ 1,1)， DM→ ＝  12，－ 1， 0 ， DC→ ＝ (1,0,0)， CF→ ＝ (0，－ 1,1)， 由 n1 DF→ ＝ 0，n1 DM→ ＝ 0. 得 x1－ y1＋ z1＝ 0，12x1－ y1＝ 0， 令 x1＝ 1。