20xx年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)(编辑修改稿)

20xx年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)(编辑修改稿)内容摘要：

， 2， 3， „ ． （ I）求 a2， a3； （ II）判断数列 {bn}是否为 等比数列，并证明你的结论； （ III）求1 2 3lim ( )nn b b b b    ． （ 20）（ 本小题 共 14 分） 设 f(x)是定义在 [0, 1]上的函数，若存在 x*∈ (0， 1)，使得 f(x)在 [0, x*]上单调递增，在 [x*， 1]上单调递减，则称 f(x)为 [0, 1]上的单峰函数， x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间． 对任意的 [0， l]上的单峰函数 f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． （ I）证明：对任 意的 x1， x2∈ (0， 1)， x1＜ x2，若 f(x1)≥ f(x2)，则 (0， x2)为含峰区间；若 f(x1)≤ f(x2)，则 (x*， 1)为含峰区间； （ II）对给定的 r（ 0＜ r＜ ），证明：存在 x1， x2∈ (0， 1)，满足 x2－ x1≥ 2r，使得由（ I）所确定的含峰区间的长度不大于 ＋ r； （ III）选取 x1， x2∈ (0, 1)， x1＜ x2，由（ I）可确定含峰区间为(0， x2)或 (x1， 1)，在所得的含 峰区间内选取 x3，由 x3与 x1或 x3与 x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为 (0， x2)的情况下，试确定 x1， x2， x3的值，满足两两之差的绝对值不小于 ，且使得新的含峰区间的长度缩短到 . （区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 20xx 年普通高等学校招生全国统一考试数学 （理工农医类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） B （ 3） C （ 4） B （ 5） D （ 6） C （ 7） A （ 8）A 二、 填 空题（本 大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） 38 （ 10） － 34 ； － 71 （ 11） 15 （ 12） (1, e)；e （ 13） ②③ （ 14） 21 n(n＋ 3)； 2n 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （ 15）（共 13 分） 解：（ I） f ’ (x)＝－ 3x2＋ 6x＋ 9．令 f ‘ (x)0，解得 x－ 1或 x3， 所以函数 f(x)的单调递减区间为（－ ∞ ，－ 1），（ 3，＋ ∞ ）． （ II）因为 f(－ 2)＝ 8＋ 12－ 18＋ a=2＋ a， f(2)＝－ 8＋ 12＋ 18＋ a＝ 22＋ a， 所以 f(2)f(－ 2)．因为在（－ 1， 3）上 f ‘ (x)0，所以 f(x)在 [－ 1, 2]上单调递增，又由于 f(x)在 [－ 2，－ 1]上单调递减，因此 f(2)和 f(－ 1)分别是 f(x)在区间 [－ 2， 2]上的最大值和最小 值，于是有 22＋ a＝ 20，解得 a＝－ 2． 故 f(x)=－ x3＋ 3x2＋ 9x－ 2， 因此 f(－ 1)＝ 1＋ 3－ 9－ 2＝－ 7， 即函数 f(x)在区间 [－ 2， 2]上的最小值为－ 7． （ 16）（共 14 分） （ I）在 直 四棱柱 ABCD－ AB1C1D1中， ∵ AA1⊥ 底面 ABCD． ∴ AC 是 A1C 在平面 ABCD 上 的射影． ∵ BD⊥ AC． ∴ BD⊥ A1C； （ II）连结 A1E， C1E， A1 C1． 与（ I）同理可证 BD⊥ A1E， BD⊥ C1E， ∴ ∠ A1EC1为 二 面角 A1－ BD－ C1的平面角． ∵ AD⊥ DC， ∴ ∠A1D1C1=∠ ADC＝ 90176。 ， 又 A1D1=AD＝ 2， D1C1= DC＝ 2 3 ， AA1= 3 且 AC⊥ BD， ∴ A1C1＝ 4， AE＝ 1。