数理统计学 概率的性质与运算法则

数理统计学 概率的性质与运算法则内容摘要：

数理统计学 概率的性质与运算法则 第二章 第二讲一 、 概率的性质与运算法则1 （ 互不相容事件 ） 加法公式如果事件 互不相容 ， 即 ， 则 （ A B） （ A） （ B）一般：如果事件 、 即， ij 则有P(2+ +P(P( +P(明：取 = =， 由公理化性质 (3)直接得结论。 2 对立事件公式 ,( ) 1 ( ) , ( ) 1 ( ):21 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) , ( ) 1 ( ) P A P A P A A P A P P A P A P A 对 任 一 事 件 及 其 对 立 事 件 有证 明 因 由 公 理 化 性 质 及性 质 得故, 3. （ 事件之差 ） 减法公式（ 1） 对任一事件 A、 B， 有P（ A B） P（ A） P（ 2） 特别： 当 B 有P（ A B） P（ A） P（ B）且 P（ A） P（ B）证明： （ 1） A （ A B） （ A B） （ ，由性质 1知 P（ A） P（ （ A B） P（ A B） P（ P（ A B） P（ A） P（ BA+B B=B（ 2） 当 B ， 故P（ A B） P（ A） P（ P（ A） P（ B）由公理性质 1， P（ A B） 0， 得 P（ A） P（ B）4 一般加法公式对于任意两个事件 A、 B， 有P（ A B） P（ A） P（ B） P（ 明 : A B A （ B A） A （ B A（ B A） ， 由性质 1和性质 3（ 2） ， 知P（ A B） P（ A） P（ B P（ A） P（ B） P（。 利用事件的运算规律和以上性质可以得到：对于任意三个事件 A、 B、 C, 有P（ A B C） P（ A） P（ B） P（ C） P（ P（ P（ P（ : 已知 P（ A） （ A B） 分别就（ 1） 互不相容时；（ 2） A B 时；（ 3） P（ 求 P（ B）。 解 : （ 1） 互不相容 ， P（ A B） P（ A） P（ B）P（ B） P（ A B） P（ A） 2） AB, A B B，故 P（ B） P（ A B） 3） 由P（ A B） P（ A） P（ B） P（ ，得 P（ B） P（ A B） P（ P（ A） 设有事件 A、 B， 已知P（ A） P（ B） ：（ 1） 在什么条件下 P（ 取到最大值。 最大值是多少。 （ 2） 在什么条件下 P（ 取到最小值。 最小值是多少。 解： P（ A B） P（ A） P（ B） P（ P（ P（ A） P（ B） P（ A B） ，故有（ 1） 当 A P（ 有最大值 ， 且P（ P（ A） A B B）（ 2） P（ A） P（ B） 不可能 ，只有 A B 时 ， P（ 有最小值 ， 且P（ P（ A） P（ B） P（ A B） 1 : , , ( ) ,( ) ( ) , ( ): ( ) ( ) 1 ( )1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,( ) 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) 1A B P A B P B P A B P A P B P B P B P A P B P p P B P A p 例 设 为 两 事 件 且求。 解又又二、条件概率和事件的独立性（ 一 ） 条件概率条件概率是概率论中的一个十分重要而有用的概率 ， 它讨论的是事件 已发生的条件下发生的概率。 在此种情况下需要确定事件发生的概率。 例：某药检所从送检的 10件药品中先后抽检了 2件 ， 如果 10件中有 3件次品 ， 试求：（ 1） 第一次检得次品的概率；（ 2） 两次都检得次品的概率；（ 3） 在第一次检得次品后 ， 第二次检得次品的概率。 则由古典概率得的次品二次检得分别表示第一设解,: 1 ) ( ) 1519210391023)()2(191101213 ,",")3(定义 对任意两个事件 A、 B， 如果P（ A） 0则称为在事件 事件 记为 P（ B A）。 用 )( | )()P A )P( ( ) 0 ,()( / )() 同 样 可 定 义 当 时9210/315/1)()()|(: 21)|(,31)|(,41)(:求已知例,)()()|(:解1213141)|()()( 12/1)|()()( )()()( 311216141（ 二 ） 乘法公式 乘法公式对于任意两个事件 A、 B， 若 P（ B） 0， 则P（ P（ B） P（ A/B）同样 ， 若 P（ A） 0， 则P（ P（ A） P（ B/A）利用事件运算的结合律可将此公式推广到个事件 、 P（ 0时 ,有P(P( 1） （ 1） P（ 1 P(1： 设有 12件药品 ， 其中有 4件次品。 现从中先后各抽取一件进行检查 ， 试求两次都取得次品的概率。 解： 记 A 第一次抽到次品 ，B 第二次抽到次品 P（ A） 4/12 ， P（ B/A） 3/11 P（ P（ A） P（ B/A） 4/12× 3/11 1/11如果改为有放回地抽样 ， 则有P（ A） 4/12， P（ B/A） 4/12，P（ B） 4/12即 P（ B） P（ B A）且 P（ P（ A） P（ B/A） P（ A） P（ B） 4/12× 4/12 1/9此时 ， 事件 （ B） 没有受到 由此引出事件独立性的概念。 例： 设某地区位于河流甲 、 乙的交汇处 ，而任一河流泛滥时 ， 该地区即被淹没。 已知某时期河流甲 、 乙泛滥的概率分别为 又当甲泛滥会引起乙泛滥的概率为 ：（ 1） 当河流乙泛滥时引起甲泛滥的概率；（ 2） 该时期内该地区被淹没的概率。 解 : 记 A 河流甲泛滥 ,B 河流乙泛滥 由题意知P（ A） P（ B） P（ B A） P（ P（ A） P（ B A） 1） P（ A B） P（ P（ B） 2） P（ A B） P（ A） P（ B） P（ 三 ） 事件的独立性 定义 对于任意两个事件 A、 B， 如果满足P（ P（ A） P（ B）则称事件 是相互独立的。 定理 （ 也是例题 ）（ 1） 若 P（ A） 0（ 或 P（ B） 0） ，则 相互 独立 P（ B） P（ B/A） 或 P（ A） P（ A/B） ；.,)2(都相互独立与与与则相互独立与如果事件(:证明 ""则相互独立与 ,0)( ),()()( )()()()()()()|( "" )|()( )()()|()()( A"" ( 2) A B , P ( A B ) P ( A ) P ( B )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ),.( ) ( ) 1 ( )1 ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 1 ( )1 ( ) 1 ( )( ) ( ) B P A A P P B P A P A B P A B P A P B P P B P P P B A B 事 件 与 相 互 独 立 即与 相 互 独 立 利 用 与 的 对 称 性 可以 证 明 与 的 独 立 性而与 相 互 独 立例 : 设 、 、 为随机试验中的三个事件 ，且 （ B A） 试在以下两种情况下求 （ A B）。 （ 1 ） 已知 （ C） 2P（ A） （ B C） 且与相互独立；解： （ ） （ A B） P（ A） P（ B） P（ ， B C） 又 （ B C） P（ B） P（ C） P（ P（ B） P（ C） P（ B） P（ C） P（ B） （ 1 P（ C） P（ C） P（ B） （ 1 P（ B） 2 ) ( / ) ( / ) 0 . 3P A B P A B已 知59( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( | )2) ( | ) ( | ) (, 12 )( ) ( | ) ) ( | ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )。