数理统计学 正交试验设计

数理统计学 正交试验设计内容摘要：

数理统计学 正交试验设计 第十一章正交试验设计一、正交表与试验设计（一）正交表正交表是用来安排多因素多水平试验并进行试验结果分析的工具，它最早开始于农业试验，目前被广泛用于工业、农业和科学技术的各个领域。 正交试验的理论基础是数论，它通过数字的不同安排形成特殊的表格，利用这种表格（正交表）安排多个因素每个因素又有多个水平的试验，可以达到以较少的试验次数就可以求得最优的试验条件或最优的生产条件的目的。 正交表的构造。 L。 32;,47;,98;)3(),2(4978306表有表有如有如下的关系与列数为正交表的数值要参考试验因素的个但它的取可以为任意正整数基本列数为如的整数幂限定为素数或素数水平数为的表示不含混合型表一般的正交表)3(2,3)()2(2,211:,;,;9847532,)()(4938234、表表 )3()2( 4978 试验号列 号 正交表的特点（）表的各列地位平等，各列之间可以互换；（）表的各行地位平等，各行之间可以互换；（）表中每列的不同数码的个数相同，水平记号可以互换；（以上三种变换称为初等变换，经过变换所得的表称为原表的同构表。 ）（）表的任意两列的各水平所构成的有序数对是一个带有相同重复数的完全数对。 由此表明了表的正交性。 利用正交表安排试验的优点（）利用正交表安排试验，由于任意两因素不同水平的搭配次数相同，可以使试验点均匀地分布在所考查的试验范围内，所安排的各试验点具有代表性；。 L)(,279)(27,9,),3()3(49如图颇具代表性试验中次次试验均匀地分布在且该图中节点次试验而全面搭配试验需要做验次试只需做个水平的试验每个因素取三列前因素表安排三个如利用（）由于表中各列的不同数码的个数相同，这就使得每个因素不同水平的试验次数相同。 保证了水平间的可比性，因而为我们能直观地分析试验结果数据提供了有利条件。 （二）正交试验设计的一般步骤（）明确试验目的和试验指标；（）确定试验的因素和水平；（）选用适当的正交表，并作好表头设计；（）安排试验，确定各次试验的条件及试验顺序（为了避免产生系统误差，可以随机选定试验顺序）；（）进行试验，并真实地记录试验数据；（）分析数据，找出相对最优试验条件。 二、正交试验数据的直观分析下面通过例子来介绍试验数据的直观分析法例：某药厂为了提高一种原料药的收率，根据经验确定考察三个因素：温度，加硷量，催化剂种类，分别用，表示。 每个因素取三个水平，分别用321321321 ,;,;, 际的因数和水平见下表：)()()(/化剂种类加硷量温度素因水平甲乙丙列号因 素试验号 （） （） （甲） （） （乙） （） （丙）（） （） 试验目的和指标与因素和水平已确定，下面选表。 因为各因素都是三个水平，故选三水平的正交表，又只有三个因素且不考虑因素间的交互性，所以选表)3( 49L。 表头设计和试验安排见下表：（）列号因 素试验号 试验结果收率（）做试验，记录试验数据，如下表：（）（）试验结果数据分析1 直接看，找出已做的最好的试验：。 33123 98 号试验或第号试验本例是第试验条件找出理论上相对的最优计算分析 ,2 计算结果如下表： 水平先计算每个因素的各个水平的试验结果之和 ,如因素的第一水平（ 1,2,3号试验）的结果之和为 51 71 58 180，第三水平（ 7,8,9号试验）为 77 85 84 246，又如因素的第二个水平（ 2,5,8号试验）为 71 69 85 225，因素的第三水平（ 3,5,7号试验）为 58 69 77 204。 其次计算每个因素的各个水平的平均试验结果，即将每水平下的结果之和除以该水平的重复试验的次数，如因素的第一水平的平均试验结果为180 3 60, 等等。 如果设定的指标越高越好的话，则平均结果高的水平就是相对比较好的水平。 最后计算每个因素的极差，最大的平均结果最小的平均结果。 极差大的因素说明该因素的水平变动相对于其它因素而言更容易影响结果，我们称它为主要因素。 由此我们根据极差大小来确定因素的主次顺序，本例由于 ( ) 22 (C) 14 (B) 8,因此因素的主次顺序为主 次 再根据各因素的平均试验结果确定理论上相对最优的试验条件，本例为 ，如果要考虑试验成本，也可以确定为。 即选 90度的温度、加碱 48公斤、使用乙种催化剂或选 90度的温度、加碱 35公斤、使用乙种催化剂的试验条件。 3 2 2A B 2A B C（）用试验验证所确定的理论上相对最优的试验条件由于所确定的理论上相对最优的试验条件并没有出现在已做过的次试验中，因此要再用试验来加以验证，为此分别用条件各做两次试验，结果如下表： 3 2 2 3 1 2A B C A B 23 1 29 5 9 0 9 2 . 59 3 8 9 9 1A B 条 件 收 率 (%) 平 均 收 率 (%)可见，从计算分析得出的条件确是比先前所做的要好，这正体现了正交试验的优点，同时上述两结果相差不大，因此可确定 为实际的生产条件。 3 1 2A B C（）画趋势图，作进一步分析从温度看，似乎温度越高收率越高，那收率和温度究竟有何关联呢。 为此我们需要进一步分析，直观方法是作趋势图（也可以回归分析，但要数据多一点）。 下图是以因素为横坐标，指标（收率）为纵坐标的趋势图：9080706080 85 90 35 48 55 甲 乙 丙（温度） （加硷量） （催化剂种类）平均收率()从趋势图可以看出两点：一是最好的试验条件是温度： 90度；加硷量： 48公斤；催化剂：乙种催化剂。 二是收率和温度呈现线性关系，温度越高收率越高，因此适当提高温度，收率也许还会提高。 三、考虑交互作用的试验分析在多因素的试验中，有些因素对试验指标的影响往往有相互制约或相互促进的情况，特别是在药物制剂和中药的配方的试验中，常会遇到此种情况。 这在统计上称为因素间的交互作用。 下面从一个农业试验的例子中可以看到因素间的交互作用确实存在。 为了研究磷肥和氮肥对大豆增产的作用，选取面积相同，土质和其它条件大致相同的块土地，用不同方式施用磷肥（）和氮肥（），结果得大豆亩产量数据如下表： 1212020 2 0 0 2 2 5 2 53 2 1 5 2 8 0 6 51 5 5 5 2 8 0 2 0 0 8 0增 产增 产 亩 产量从上表看出单施公斤磷肥，每亩增产公斤，单施公斤氮肥，每亩增产公斤，既施磷肥又施氮肥每亩增产公斤，从中扣除单施磷肥或单施氮肥增产的公斤和公斤外，还多增产公斤，这正反映了磷肥和氮肥的交互作用。 称两个因素、的交互作用为一级交互作用，记为 × ，两个以上的因素的交互作用为高级交互作用，因后者情况比较复杂，一般来说不于考虑。 正交表的交互作用表（）两水平正交表的交互作用表78 ( 2 )L 表 的 交 互 作 表列 号 （） （） （） （） （） （） （）列号两水平正交表任意两列的交互列只有一列，查交互列时，带括号的列号横着看，不带括号的列号竖着看，横竖列号交叉点的数字就是所要的两列的交互列。 （）三水平正交表的交互作用表三水平正交表任意两列的交互列有两列，见下面的表，如一、二两列的交互列为三、四两列，四、五两列的交互列为十、十二列等等。 不管是什么样的具有交互列的正交表，它们的任意两列的交互列在什么位置都是固定的，因此在安排因素间具有交互作用的试验的表头设计要特别注意。 试验结果数据的直观分析例：中药汤剂茵陈汤由茵陈蒿、栀子和大黄三位中药组成，它有利胆作用。 为研究三位中药的最佳配方，取成年大白鼠做试验。 在近左右肝管处切开总胆管插入内径约的硬质塑料管引流胆汁，以每分钟的胆汁充盈长度（）为指标进行给药前后的对比，给药后连续观察半小时，每分钟的均值减去给药前分钟内的均值作为供统计分析用的试验指标值，因素和水平见下表：因 素大黄 栀子 茵陈蒿 水 平 生 酒犜。 （）选表这是一个三因素二水平的试验，还要考虑任意二因素间的交互作用，三个因素要占三列，交互列也要占三列，因此至少要选具有六列的二水平的正交表，满足此要求的最合适的表是表。 78(2 )L（） 表头设计和试验安排以及试验结果见下表。 （ 3）结果数据分析指标数据越高，说明茵陈蒿汤的利胆效果越好。 直接看，第号试验最好，条件是：生大黄，茵陈，不用栀子。 计算分析：有关的计算结果见上表，从各因素和交互作用的极差大小看，因素和交互作用的主次顺序为主 次 × × × 11 1 2 2 1 2 21212, , ; ,:11( C A C A C A C A 21为 主 要 因 素 , 分 别 取 B 而 优 于 因 素选 择 那 个 水 平 应 根 据 A 与 C 的 哪 对 水 平 搭 配 较 好 来 确定 , 为 此 将 A 与 C 的 四 种 搭 配 A 的 均值 列 于 下 表11 2 11, 表 知 道 ,A 与 搭 配 最 好 并 且 因 素取 第 一 水 平 与 前 边 因 素 作 为 主 要 因 素 的 最好 水 平 的 选 取 没 有 矛 盾 故 理 论 上 相 对 的 最优 试 验 条 件 为 这 正 好 是 已 经 做 过 的第 三 号 试 验。 如 果 交 互 作 用 水 平 的 选 取 与因 素 水 平 的 选 取 有 矛 盾 , 一。