20xx考研线性代数攻略(编辑修改稿)

20xx考研线性代数攻略(编辑修改稿)内容摘要：

该极大线性无关组线性表示 . 解 构造矩阵 1 2 3 41 7 2 53 0 1 1( , , , )2 1 4 0 60 3 1 2A     ,并利用行初等变换 求 其 简 化 阶 梯 形 矩 阵 ： 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 13 1 7 2 5 1 7 2 5 1 7 0 3 1 1 0 13 0 1 1 3 0 1 1 3 0 0 2 3 0 0 22 1 4 0 6 0 0 4 4 0 0 1 1 0 0 1 10 3 1 2 0 3 1 2 0 3 0 1 0 3 0 11 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 2 / 30 3 0 1 0 3 0 1 0 1 0 1 / 30 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 10 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0                                                                 0因此 ,该向量组的秩为 3, 1 2 3,   构成一个极大线性无关组 ,且4 1 2 32133     . 例 20(20xx) 设 n 维列向量 12, , , ( )m mn   线性无关 ,则 n 维列向量12, , , m   线性无关的充分必要条件是 12, , , m   可由向量组 12, , , m   线性表示。 12, , , m   可由 向量组 12, , , m   线性表示。 12, , , m   与向量组 12, , , m   等价。 12( , , , )mA    与矩阵 12( , , , )mB    等价 . 解 B 最错 :此时向量组 12, , , m   的特征完全没有体现。 A 也错 ,因为此时向量组 12, , , m   当然线性无关 ,故是充分条件 ,但不必要。 C 也是充分条件 ,不必要 .故选 D. 例 21(20xx) 设向量组 I: 12, , , r   可由向量组 II: 12, , , s   线性表示。 则 rs 时 ,向量组 II 必线性相关。 rs 时 ,向量组 II 必线性相关。 rs 时 ,向量组 I 必线性相关。 rs 时 ,向量组 I 必线性相关 . 解 由于只知道 I 能由 II 线性表示 ,故只能讨论 I 的线性相关性 , 对 II 则一无 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 14 所知 (它可能线性相关 ,也可 能线性无关 ).所以 A,B 错 .只与 C,D 就较为明显了 :向量越多则越容易线性相关 .当 rs 时 ,I 中的向量个数多于 II,只能线性相关 . 例 22(20xx) 设 A， B为满足 AB=0 的任意两个非 0矩阵，则必有 的列向量组线性相关 ,B的行向量组线性相关 的列向量组线性相关 ,B的列向量组线性相关 的行向量组线性相关 ,B的行向量组线性相关 的行向量组线性相关 ,B的列向量组线性相关 分析 (20xx12) 这实际上是考察我们对矩阵乘法的理解 :” 左行右列 ” 原则说 AB 的列是 A的列的线性组合 ,而其 行是 B 的行的线性组合 ,现在 AB=0,故 A的列的线性组合为 0,B的行的线性组合为 0,从而 A的列线性相关 ,B的行线性相关 ,选 A. [这是概念性很强的线性代数题 ,50％的考生早在上线性代数课的时候就晕过无数次 ,现在又要再晕一次了 (我们将在线性代数的复习中帮助大家苏醒过来 ).但现在我们是在做选择题 !选最简单的矩阵 (当然 1 1的不行 为什么 ???故 1 2的最简单 )如下 :   01 0 , 1AB  .如此 ,A 的行线性无关 ,C,D 错。 B 的列线性无关 ,B,D 错 !] 例 23(1997) 设 1 1 1221 2 2 2 3 23 3 3, , , 0 , 1 , 2 , a b ca b c a b ia b c                                则 三条直线 ( 1 , 2 , 3 )i i ia x b y c i  交于一点的充分必要条件是 A. 1 2 3,   线性相关。 B. 1 2 3,   线性无关。 ( 1 2 3,   )=秩 ( 12, )。 D. 1 2 3,   线性相关。 12, 线性无关 . 解 实际上是解线性方程组 :交于一点等价于有唯一解 ,等价于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于 D.(试试用特殊值法 ) 例 24(1998) 设 A是 n 阶矩阵 ,若存在正整数 k 使得线性方程组 Akx=0 有解向 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 15 量 ,且 Ak1 :向量组 ,A,… ,Ak1是线性无关的 . 证明 设 0+1A+… +k1 Ak1=0, 我们证明所有的系数只能等于 , 两边同乘以 Ak1,可得 0 Ak1+1Ak1A+… +k1 Ak1Ak1=0, 是 Akx=0 的解 ,所以 Ak=0,因此 0 Ak1=0。 但 Ak10,只有 0=0. 再乘以 Ak2,可得 1Ak2A+… +k1Ak2Ak1 =0, 即 1Ak2A=0,因此 1= ,可以证明 2=3=… =k1=0. 例 25(1996) 设 是 n 维非 0 列向量 ,是 的转置向量 ,E 是 n 阶单位矩阵 ,A=E.证明 : (1)A2=A 的充分必要条件是 =1. (2)当 =1 时 ,A 是不可逆矩阵 . 证明 : 例 26(应用 ) 设 Amp,Bpn,则 r(A)+r(B)p  r(AB) min{r(A),r(B)}. 证明 先看第二个不等式 :矩阵的乘法具有什么样的性质 ?”左行右列 ”.更进一步 ,乘积矩阵的行等于右边矩阵的行的线性组合 ,组合系数是左边矩阵相应的行。 乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线性组合 ,组合系数是右边矩阵相应的列 . 于是 ,AB的列均可由 A的列线性表示 ,而其行可由 B的行线性表示 ,从而其列秩不超过 A 的列秩 ,其行秩不超过 B 的行秩 ,因此该不等式成立 .再来看第一个不等式 :回 忆 可 逆 矩 阵 不 改 变 矩 阵 的 秩 , 且 存 在 可 逆 矩 阵 P 与 Q 使得000rEPAQ  ,其中 r= r(A). 于是 PAB=PA1B = (PAQ)Q1B=C, 其中 C 的前 r 行为 Q1B 的前 r 行，后 mr 行均为零。 注意 r(Q1B)=r(B),故共有p 行的矩阵 Q1B 的前 r 行的秩至少为 r(B)(pr)=r(A)+r(B)p,即 C 的秩至少为r(A)+r(B)p,但 r(C)=r(AB),ok. 例 27 设 A 为 n 阶矩阵，证明 r(An)=r(An+1). 证明 (此题较难 )显然有 r(An)r(An+1).若 A＝ 0 或 A可逆 ,则 An与 An+1 也等于0 或可逆 ,从而秩相等 . 现设 A0且 A不可逆 ,则 A, A2,… ,An,An+1 这 n+1 个矩阵的秩只能是 0,1,2,… ,n1 这 n 个数。 从而必有两个矩阵的秩相同 , 设为r(As)=r(At),1stn+1. 于是 , r(At1)=r(At). 断言 r(At)=r(At+1). 如 此 将 有r(At+1)=r(At+2)=… = r(An)=r(An+1). 为此 ,只须证明方程 Anx=0 与 An+1x=0 同解 .只须证明后者的解也是前者的解 .设 是后者的解 ,即 An+1＝ 0,即 An(A)＝ 0,因此A是前者的解 .注意前者与 An1x＝ 0 同解 ,因此 A是 An1x=0 的解 ,即 An1(A)＝0,即 An＝ 0! 例 27设 A 是矩阵 ,证明 :r(A)=r(ATA). 证明 首先 ,r(A) r(ATA). 其次 ,证明方程 Ax=0 与 ATAx=0 同解 . 只须证明后者的解是前者的解 .设 0 是后者的解 ,即 ATA=0,欲证明 A=0:如何证明一个向量 x等于 0向量 ?或者证明 x的每一个分量均为 0(这常常是过于憨厚的做法 ,但适合于可以计算的场合 ),或者证明 x 的长度等于 0,即证明 xTx=(A)TA=0,但这就是 TATA=0:此当然对 !这就是说向量 A的长度的平方＝ 0， 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 16 因此 A是 0 向量 ,即 A＝ 0,故 是 Ax=0 的解 . 三 .特征值 /特征向量 /二次型 重中之重 ,每年线性代数必考  核心内容 特征值 /特征向量 /特征多项式 /相似对角化 /实对称矩阵 /二次型 /正定矩阵 例 28 若三阶方阵 A 的特征值为 1,0,1,则与方阵 B=A3A+2E 相似的对角矩阵为［ ］ . 例 29(1999) 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1,则 A 的 n 个特征值为 [ ]. 解 你当然可以直接计算 .但其秩为 1,故最多有 1 个非 0 特征值。 又对角线元素之和为 n,故还有一个特征值为 .(秩为 1 的矩阵需特别关注 .) 例 30(1999) 设矩阵15310acAbca,其行列式 |A|=1,又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值 ,属于 的一个特征向量为 =(1,1,1),求 a,b,c 和 的值 . 解 如果计算 A*,则会有很多麻烦和困难 .因此应该将条件转到 A 上 .由于AA*=|A|E=E,以及 A*=,所以 =AA*=A()=A, 即 1 1 15 3 1 1 ,1 0 1 1acbca                               即 ( 1 ) 1 ,( 5 3 ) 1 ,( 1 ) 1 ,acbca             所以 =1,b=3,a= |A|=1,可知 1 0 11 | | 5 3 3 2 3 3 2 31 0 1 0 0a a aA a aaa        , 所以 a=c=2. 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 中国最庞大的下载资料库 (版权归原作者所有 ) 17 例 31 设 3 阶实对称矩阵 A 有 3 个特征值 2,2,3 且130013A               ，求正交矩阵 Q,使得 TQ AQ 为对角矩阵 . 解 只需求属于特征值 2 的特征向量 ,设 1 2 3( , , ) Tx x x x 是属于特征值 2 的特征向量 .由实对称矩阵的性质 ,属于特征值 2 的特征向量与属于特征值 3的特征向量正交 ,。