毕业论文(常微分方程积分因子法的求解)(编辑修改稿)

毕业论文(常微分方程积分因子法的求解)(编辑修改稿)内容摘要：

 ))()(e x p ( baba yxdyxgu。 证明 令 vyx ba  ， 则有 dvduybxdydvdvdudydudvduyaxdxdvdvdudxdu baba 11 **   ， 假设)( bayxu 是方程 0),(),(  dyyxNdxyxM 的积分因子 ， 则由引理有充要条件 ：dxuNddyuMd )()(  ， 所以 ，dvduMbxNayyxdvduyMbxyNaxdyduMdxduNdxdNdydMu bababa *)()()(* 1111  ， 所以 ，dvdxdNdydMMbxNayyxudu ba )(*)]([ 111   ， 当且仅当)()(*)]([ 111 vgdxdNdydMMbxNa yyx ba   时可以解出 u。 故方程 0),(),(  dyyxNdxyxM有形如 )( bayxu 的积分因子的充要条件是 )()(*)(111 baba yxgdxdNdydMbx May Nyx ，且积分因子  ))()(e x p ( baba yxdyxgu。 五邑大学本科毕业 论文 5 结论 9 方程 0),(),(  dyyxNdxyxM 有形如 )( bbaa nyyhxmxu  的积分因子的充要条件是 )()(*)(m a x 1 1111 bbaababa nyyhxmxdxdNdydMbx May NyhxMn byN   φ，且 积分因子   ))()(e x p ( bbaabbaa nyyhxmxdnyyhxmxu。 证明 令 tnyyhxmx bbaa  ， 则dtduyhbxnbydydtdtdudydudtduyhaxdxdtdtdudxdu babbaa *)(**)(m a x* 1111   ， 假设)( bbaa nyyhxmxu  是方程 0),(),(  dyyxNdxyxM 的积分因子 ， 则由引理有充要条件dxuNddyuMd )()(  ， 所以 ，dtduyhbxnbyMyhaxNdyduMdxduNdxdNdydMu babbaa *)]()(m a x[)(* 1111   ，dtdxdNdydMMbxnayyhxMnbyNdtdu baba )(*)]((m a x[ 11111  ， 当且仅当)()](max[ 11111 tM b xN a yyhxM n b yN baba ＝ φ  时可以解出 u ,故方程0),(),(  dyyxNdxyxM 有形如 )( bbaa nyyhxmxu  的积分因子的充要条件是)()(*)(m a x 1 1111 bbaababa nyyhxmxdxdNdydMbx May NyhxMn byN   φ，且积分因子   ))()(e x p ( bbaabbaa nyyhxmxdnyyhxmxu。 几种常见类型的微分方程的积分因子 根据以上结论易得出下列常见的微分方程积分因子结果。 命题 1 可分离变量方程 0)()()()( 2121  dxyNxNdxyMxM ， 0))(( 21 yMxN 有积分因子)()( 1 21 yMxN。 命题 2 齐次方程 )(xydxdy φ 有积分因子 )(1xyxy φ。 五邑大学本科毕业 论文 6 命题 3 齐次方程 0),(),(  dyyxNdxyxM ， 当 0 yNxM 时有积分因子 yNxMu  1。 命题 4 Bernoulli方程 nyxQyxPdxdy )()(  ， ）， 10( n 有积分因子   dxxPnneyu )()1(。 五邑大学本科毕业 论文 7 第 3 章 积分因子求法的推广 微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。 满足条件 ()P Q PQ f xy x y  的积分因子求法 定理 1 假设 ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy中 ( ,Pxy ， ( , )Qxy 存在以下关系： ()P Q PQ f xy x y   其中 ()fx是 x 的连续函数，则该方程的积分因子是： 1()( , ) f x dx dyyx y e  ()f x dxey． 证明 ：1()() f x dx dyyf x ex  ( ) ( , )f x x y 1()1 f x dx dyyeyy  1 ( , )xyy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y P x y dx x y Q x y dy  即： PPPy y y    PPyy Qx x x     () f x x 若要使得 ( , )xy 是积分因子，必须满足： QPxy 则 ()P P f xy y x      即 ()P Q PQ f xy x y            五邑大学本科毕业 论文 8 即要满足： ()Q P P Q f xx y y  ． 若满足以上定理可得到如下定理： 定理 2 如果 ()( , ) f x dxx y e y 是方程 ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy的积分因子，则( ) 2 ( )2 2 2( , ) ( )f x d x f x d xx y e y e y    也是该方程的积分因子 证明。