考研数学串讲线性代数(编辑修改稿)

考研数学串讲线性代数(编辑修改稿)内容摘要：

0. 例 18 已知非齐次 方程组 AX=有解 ,证明它的解集合的秩 = nr(A)+1. 例 19 设 1,2,„ ,s和 1,2,„ ,t都是线性无关的 n维向量组 ,证明 1,2,„ ,s,1, 2,„ ,t线性相关 存在非零向量 ,它既可用 1,2,„ ,s线性表示 ,又可用 1,2,„ ,t线性表示 . 例 20 设 1,2,„ ,s,1,2,„ ,t线性无关 ,其中 1,2,„ ,s是齐次方程组 AX=的基础解系 .证明 A1,A2,„ ,At线性无关 . 秩是向量组内在线性性质的定量研究 .它是刻画向量组相关“程度 ” 的一个数量概念 .它表明向量组可以有多大 (指包含向量的个数 )的线性无关的部分组 . 定义 设 1,2,„ ,s是 n维向量组 ,(I)是它的一个部分组 .如果 ① (I)线性无关 . ② (I)再扩大就线性相关 . 就称 (I)为 1,2,„ ,s的一个 极大无关组 . 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 6 极大无关组中所包含向量的个数称为 1,2,„ ,s的 秩 ,记作 r(1,2,„ ,s). 如果 1,2,„ ,s全是零向量 此时极大无关组不存在 ,则规定 r(1,2,„ ,s)=0. 于是 ,0r(1,2,„ ,s)个数 s,维数 n. 由定义得出 : 如果 r(1,2,„ ,s)=k,则 ① 1,2,„ ,s的一个部分组如果含有多于 k个向量 ,则它一定的相关 . ② 1,2,„ ,s的每个含有 k个向量的线性无关部分组一定是极大无关组 . 求 1,2,„ ,s的极大无关组的方法 : 作矩阵 A=(1,2,„ ,s), 用初等 行 变换把 A化为阶梯形矩阵 B,则 B的列向量组和 1,2,„ ,s有相同的线性关系 ,从而对应的部分组有一致的相关性 ,极大无关相对应 .于是 B的台角的列号对应的 1,2,„ ,s的部分组是一个极大无关组 . 例 21设 1=(1,1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14),4=(1,2,2,0),5=(2,1,5,10).它们的下列部分组中 ,是极大无关组的有哪几个 ? (1)1,2,3. (2)1,2,4. (3)1,2,5. (4)1,3,4. (1) 定义 矩阵 A 的秩 r(A)就是它的行向量组的秩 ,也就是列向量组的秩 . r(A)也就是 A的非 0子式的阶数的最大值 .(即 A 的每个阶数大于 r(A)的子式的值都为 0,但是 A 有阶数等于 r(A)的非 0子式 .) 如果 A 是 mn矩阵 ,则 0r(A)Min{m,n}. r(A)=0 A=0. 当 r(A)=m时 ,称 A为行满秩的。 当 r(A)=n时 ,称 A为列满秩的 . 对于 n阶矩阵 A,则行满秩和列满秩是一样的 ,此时就称 A满秩 .于是 : n阶矩阵 A 满秩 r(A)=n(即 A的行 (列 )向量组无关 )|A|0A可逆 . (2)性质 ① r(A T)=r(A). ② 如果 c不为 0,则 r(cA)=r(A). ③ r(AB)r(A)+r(B). ④ r(AB)Min{r(A),r(B)}. ⑤ 当 A(或 B)可逆时 ,r(AB)=r(B)(或 r(A)). ⑥ 如果 AB=0,n为 A的列数 (B的行数 ),则 r(A)+r(B)n. ⑦ 如果 A 列满秩 (r(A)等于列数 ),则 r(AB)=r(B). 例 22 设 A 是 n阶矩阵 .证明 1)(Ar 存在 n维非零列向量  和  ,使得 TA  例 23 3阶矩阵1232023baA ， 12001111 abB ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b和r(AB). 例 24设 A是 n阶矩阵 , s ，， 21 是一组 n维向量 , ii A  , i=1,2，  , : (1) )(),( 2121 ss rr  ，，  . (2如果 A可逆 ,则 ),()( 2121 ss rr   ，， . 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 7 例 25 设  s ，， 21 是齐次方程组 0AX 的基础解系 , ,211  t  111322 ,  ttt sssss  .t取什么值时 s , 21  也是 0AX 的基础解系 ? 二 . 线性方 程组解 线性方程组是课程的最主要部分 ,是考试的最大重点 ,但是考点很集中 (解的情况的判别和通解的计算 ),有关的结论又十分明确 .但是近年来考题的发展趋势应该重视：考试重点转向概念化 ,考题渐渐脱离传统题型 ,出现许多有新意的题 . 1. 线性方程组解的情况的判别 (1) 对于方程组 AX ,判别其解的情况用三个数 :未知数的个数 )|(),(, ArArn . ① 无解 )|()( ArAr  . ② 有唯一解 nArAr  )|()(  (当 A 是方阵时 ,就推出克莱姆法则 .) ③ 有无穷多解 nArAr  )|()( . 方程的个数 m虽然在判别公式中没有出现 ,但它是 )(Ar 和 )|( Ar 的上界 ,因此 当 mAr )( 时 , AX 一定有解 . 当 mn时 ,一定不是唯一解 . (2) 对于齐次方程组 0AX ,判别解的情况用两个数 : n, )(Ar . 有非零解 nAr  )( (即 :只有零解 nAr  )( ). 2. 基础解系和通解 (1) 齐次方程组的基础解系 如果齐次方程组 0AX 有非零解 ,则它的解集 (全部解的集合 )是无穷集 ,称解集的每个极大无关组为 0AX 的 基础解系 . 于是 , 当 s ，， 21 是 0AX 的基础解系时 : 向量  是 0AX 的解  可用 s ，， 21 线性表示 . 定理 设 0AX 有 n个未知数 ,则它的基础解系中包含解的个数 (即解集的秩 )=nr(A ). 于是 ,判别一组向量 s ，， 21 是 0AX 的基础解系的条件为 ① s ，， 21 是 0AX 的一组解 . ② s ，， 21 线性无关 . ③ s=nr(A ). (2) 通解 当 s ，， 21 是 0AX 的基础解系时 , 0AX 的通解为 :。