向量法在高中数学中的应用_毕业设计(论文)(编辑修改稿)

向量法在高中数学中的应用_毕业设计(论文)(编辑修改稿)内容摘要：

当然， 用这种向量 方法解决几何问题时可以减少辅助线，但选用何种基向量是很有讲究的， 选用的基底向量不同 ， 解法也会 有所 不同。 当然还存在一种可能，如果能 找到一个直角坐标系，把平面图形上的点都用坐标表示，那么几何问题 就可以直接 转变成了纯代数的问题。 所以说，向量法往往可以巧妙的解决一些看似很麻烦的平面几何问题。 运用向量法解决平面几何问题的关键在于两点：即转换与运算。 何谓转换，即找一对单位基向量或者直角坐标系，将所有线段用基向量或坐标表示。 运算则顾名思义就是向量的运算。 不难看出，解决此类问题的步骤一般分为三步： （ 1）建立 平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 所 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（ 2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如 垂直、 距离、夹角等问题；（ 3）把运算结果 再次转换成 成几何元素。 、 利用向量解决基础平面图形问题 例 ，在 △ ABC 中 ,AB=AC， D 是 BC 的中点，DE⊥ AC， E 是垂足， F 是 DE 的中点，求证： AF⊥ BE. 证： 要证 AF⊥ BE，即证 0 BEAF ，由于AB=AC,D 是 BC 中点，故 AD⊥ BC， 0 BDAD ，BDDC .又由 DE⊥ AC， F 是 DE 的中点，得 0 ECDE ， DEEF 21 ，所以 )()( DEBDEFAEBEAF DEEFBDEFDEAEBDAE  DEDEBDDEBDDEAD  2121)( DEDEECDE  21)(21 =0， 故得 AF⊥ BE. 分析：例 1 是一道证明垂直的问题，如果用几何办法求解，添辅助线是不可避免的，而且容易让人无从下手 ，而向量法则可以 通过 AD⊥ BD,DE⊥ EC,将 AF 与 BE 巧妙的通过 AD ， BD ， DE ， EC 这 4 组基向量表示，通过基向量的垂直，证明 AF⊥ BE。 例 2. 已知正方形 ABCD， P 为对角线 AC 上任意一点， PEB A E C D F A E B F C D P 杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文 第 7 页（共 18 页） ⊥ AB 于点 E， PF⊥ BC 于点 F，连接 DP、 EF，求证 DP ⊥ EF． 解：以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴建立直角坐标系，则 B（ 1， 0）， D（ 0， 1），C（ 1， 1）， P（ a， a）， E（ a， 0）， F（ 1， a）， DP =（ a， a1）， EF =（ 1a， a），则 DP *EF =a（ 1a） +（ a1） a=0，所以 DP ⊥ EF． 分析：例 2 也 是一道证垂直问题，由于 DP 与 EF 没有公共点，所以要证垂直必须填辅助线， 可以延长 DP，也可以过 P 作 EF 平行线，但无论如何用平面方法解题，都没有向量法来的 方便。 建系、 定坐标、计算 ，一气呵成，这就是向量法 解题的两点。 例 3. 已知 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90176。 ，设 AC=m，BC=n． （ 1） 若 D 为斜边 AB 的中点，求证，CD= 21 AB． （ 2） 若 E为 CD 中点，连接 AE并延长交 BC于 F，求 AF 的长度（用 m， n 表示）． 解： （ 1）如图建立直角坐标系， B（ n， 0），A （ 0 ， m ）， 则 D （ 21 n ， 21 m ），CD= 22 )21()21( mn  = 21 22 mn  ， AB= 22 )0()0( mn  = 22 mn  ． 所以CD= 21 AB． （ 2） E（ 41 n， 41 m）， AE =（ 41 n， 43 m），设 F（ x， 0），则 AF =（ x， m），由于 A ， E ， F 三 点 共 线 ， 得 mmxn  4341，所以 x= n31 ， F （ n31 ， 0 ），AF= 22)3( mn  = 22 931 mn  ． 分析：此题的坐标系也是非常容易建立的，关键在于 D， E， F 三点的坐标，求得这三点坐标后，所有问题迎刃而解。 、 利用向量求解圆锥曲线问题 用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。 高中数学中重点研究的 圆锥曲线包括圆 ，椭圆，双曲线，抛物线。 由于圆锥曲线往往在直角坐标系中出现，所以对于各个点的坐标的求解不可避免，而就这点而言，向量法大显身手的时刻到来了，无论是 垂直问题，平行问题， 求未知数问题，轨迹问题， 共线问题， 最值问题，都是在向量法的基础上完成的。 所以说，向量法是解决 大多 数 圆锥曲线问题的基础方法 ， 给曲线的求解带来了极大的方便。 我们来看下面 例子。 例 4. 如图 : 已知椭圆 11624 22  yx ， 直线 L: 1812 yx ， P 是直线 L 上的点 ， 射线 OPE C F B x D A y 杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文 第 8 页（共 18 页） 交椭圆于点 R， 又点 Q 在 OP 上且满足 | OP | *| OQ |=| OR |2， 当点 P 在 L 上移动时 ， 求点 Q 的轨迹方程 ． 解 ：如图， OQ ， OR ， OP 共线，可设 Q（ x， y），则 R（ λ x， λ y）， P（ μ x， μ y） ，由于 | OP | *| OQ |=| OR |2,则μ =λ 2，又由于 R 在椭圆上， P 在 L 上， 11624 2222  yx  ，1812  yx  ，化简得， 222 11624  yx ，1812  yx， 所 以 8121624 22 yxyx  ， x， y 不同时为 0． 分析：解决圆锥曲线的轨迹问题时，先把动点坐标用（ x， y）表示， 将其他已知点用 x，y 的表达式表示， 然后通过已知条件，将几何语句表示成 x 与 y 之 间的关系，消去多余未知数，即可得 x， y 的方程即轨迹方程。 如上题，要求 Q 的轨迹，所以先将 Q 设成（ x， y） ，然后通过未知数λ，μ将 R 点与 P 点坐标用未知数表示，最后通过已知条件消去λ，μ。 例 p0 是一常数，过点 Q（ 2p， 0） 的直线与抛物线 y2=2px 交于相异两点 A， B，以线段 AB 为直径作圆H（ H 为圆心）．试证明抛物线顶点在圆 H 的圆周上，并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程． 解：由于直线斜率不能为 0，故设直线为 ky=x2p，设 A（ xa， ya）， B（ xb， yb）， 将 ky=x2p 与 y2=2px 连列，消去 y，得 xa， xb 满足 x2（ 4+2k2） px+4p2=0，由 韦达定理得， xa xb=4p2， xa+xb=（ 4+2k2） p， 同理可得 ya yb = 4p2， ya+ yb =2pk． OA *OB = xa xb + ya yb =0，所以OA ⊥ OB ， 所以 O 在圆周上． OH =（ 2 ba xx  ，2 ba yy  ） =（ 2p+k2p， pk），而由于三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以OH=OA=OB=R， OH= 222 )()2( kppkp  = 45 24  kkp ，当 k=0 时， S= 2OH 最小， S= 4 p2，直线方程为 x=2p． 分析： 这是 一道圆锥曲线中的最值问题，其实解题思路还是和一般圆锥曲线问题一样，首先将未知条件用未知数表示，如上题直线中的未知数 k，然后将已知条件转换成未知数之间的关系，这是个难点，如上题中的 xa xb， ya yb 是问题的关键，将其用 k 表示出来，问题迎刃而解，如果找不到这个点，那么会走很多歪路。 如何找这个点，就要求我们清楚明白题目问的是什么，如上题中题目要我们证 O 在圆 上，这句话和向量的挂钩就是 AB ⊥ OB ，理清x P O y l R Q 杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文 第 9 页（共 18 页） F E M z y A D C B A11 B1111 C11 D11 x N 楚这层关系，那么什么问题都简单 明了了。 例 149 22  yx的焦点为 F1， F2，点 P 是其上的动点，当 ∠ F1PF2 为钝角时，求点 P的横坐标的取值范围 . 解：设 P（ x， y）， F1（ 5 ， 0）， F2（ 5 ， 0）由于 ∠ F1PF2 为钝角，则 021 PFPF ，即（ 5 x， y） （ 5 x， y） =0，故 x25+y2=0， 联例 149 22  yx 得， 553553  x . 分析：这是一道比较特殊的圆锥曲线问题， 由 ∠ F1PF2 为钝角得 1PF 与它在 2PF 方向上的射影所成角为钝角，即射影为负，即 0PFF∠co s211 PF，即 021  PFPF。 同理锐角射影为正。 立体 几何 用空间向量解决立 体几何问题 有 两个重要 手段 ， 即 直线的方向向量和平面的法向量 ，他们 实现空间问题的向量解法的 桥梁。 用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，角的问题，距离问题主要运用了直线的方向向量和平面的法向量 ， 同时也要借助空间中已有的一些定理。 、 利用 向量解决 平行问题 谈到平行，无非两直线平行，线面平行，与面面平行三种，证明平行的方法有很多，向量法是其中一个，在某些情况下，向量法往往可以将问题简化。 我们来看如下例题。 例 7. 如图，在正方体 ABCD－ A1 B1 C1D1 中， M、 N 分别是棱 A1 B A1D1 的中点， E、 F 分别是棱 B1 C C1D1 的中点． （ 1）求证： DB//EF （ 2）求证：平面 AMN∥平面 BDFE 证：（ 1）以 D 为原点， DA 为单位长，如图建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 A（ 1， 0， 0）， M（ 1， 21 ， 1）， N（ 21 ， 0， 1）， E（ 21 ，1， 1）， F（ 0， 21 ， 1）， EF =（ 21 ， 21 ， 0）， DB =（ 1，1， 0）， DB =2EF ，故 DB//EF． （ 2） 设平面 AMN 的法向量 1n =（ x， y， 1），平面 BDFE 的法向量 2n =（ a， b， 1） ， EF =（ 21 ， 21 ， 0）， DF =（ 0， 21 ， 1）， NM =（ 21 ， 21 ， 0）， AM =（ 0， 21 ， 1）， 杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文 第 10 页（共 18 页） 由 1n 与 NM ， AM 垂直，得012102121yyx，所以  22yx。 则 1n =（ 2， 2， 1），同理得2n =（ 2， 2， 1） ． 所以 1n // 2n。 故 平面 AMN∥平面 BDFE． 分析： （ 1）空间两直线平行问题可通过 坐标求得直线上的向量，用向量成比例来证两直线平行。 （ 2） 两平面的平行可以转。