小波变换在信号及图像处理中的应用研究毕业论文(编辑修改稿)

小波变换在信号及图像处理中的应用研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

,   Zkj , 为函数的 (27)式变换称为二进制小波变换。 二维小波变换 二维连续小波变换 若信号函数      yxRLyxf , 2  为二维小波母函数，则其构造可由一维母小 波的张量积形成。 陕西理工学院毕业设计 第 5 页 共 42 页 ),(|| 1),(, a cya bxayxcba   Rcba , 且 0a (28) 若信号函数 ),(),(),( 2 yxRyxf L  为二维小波母函数，则其构造可由一维母小波的张量积形成。 因为图像信号是一种二维信号，所以将一位小波扩展为二维情况，便于后续的使用和分析。 d x d ya cya bxyxfacbafW   ),(),(|| 1),)((  (29) 二维离散小波变换 只要把参数 a,b,c 离散化 0000020xx0 ,, cbaackcabkbaa jjj   为常数， Zkkj 21, ,则有离散参数变换：      d x d yckyabkxayxfakkjD P W T jjj 020xx0021 ,    (210) 将 x,y 离散化，即得到离散空间小波变换： ),(),(),( 0220xx1021021 1 2 cklabklallfakkjD S W Tjjl lj     Zll 21, (211) 令 1,2 000  cba ,即得到离散小波变换，表示为 : )2,2(),(2),( 22112121 1 2 klklllfkkjDWT jji ij     Zll 21, (212) 小波变换的多分辨率分析 小波理论包括连续小波和二进制小波变换，在映射到计算域的时候会出现很多问题 ，因为两者都存在信息的冗余，在对信号进行采样以后，需要计算的信息量还是相当大的，特别是连续的小波变换，因为要对精度内所有的位移和尺度都要做计算，所以计算量非常的大。 而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行平移和伸缩，但是小波之间并没有正交性，各个分量的信息是搀杂在一起的，这为我们的分析带来了不便。 多分辨率分析 (Multiresolution Analysis MRA)，也称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上 的理论，多分辨率分析在小波变换理论中具有非常重要的地位。 多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，即一个尺度函数对应一个多分辨率分析 [2]。 通俗地讲，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近 )(2RL。 在每个空间中，所有的函数都构成 了 该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成 )(2RL 的标准化正交基，那么，如果对信号在这类 函数 空间上进行分解，就 能够 得到互相正交的时频特性。 由于空间数目是无限可数的 ，因此 能够 很方便地分析我们所 需要 的信号的某些特性。 对于任意函数 Vtf 0)(  ，可以将它分解为细节部分 (小波空间 )W1 与 大尺度逼近部分 (尺度空间 )V1，然后 对 大尺度逼近部分 V1 进一步分解。 这样重复就能够得到任意尺度上的逼近部分 与 细陕西理工学院毕业设计 第 6 页 共 42 页 节部分，这就是多分辨率分析的框架。 每进行一次小波分解都把输入信号分解为低频部分 与 高频细节部分，而且每次的输出采样率都 能够 再减半，从而保证总的输出系数长度 保持 不变，这样就将原始 离散信号进行了多分辨率分解。 在图像处理中， 把二维图像信号 )(),( 22 RLyxf  所占的总频带定义为 ),()2(0 yxV 空间，用 理想的低通滤波器 h0 与 高通滤波器 h1 在行 和 列方向 对 它们分别分解成低频部分 )()1(0 xV 与 高频部分W)1(1 ，每一 个 方向的两部分分别反映出该图像信号在剖分 方向上的概貌 与 细节；对于)()( )1(1)1(0 yx VV  经第二级 ( 2a )分解后又被分 解 成低频 )()( )1(2)1(2 yx VV  、 垂直方向的高频)()( )1(2)1(2 yx WV  、 以及对角线方向的高频 )()( )1(2)1(2 yx WW  ， …… , 在这种空间分 解 过程中，),)(()1( yxiiV j  反映的是图 像信号 在空间 ),)(()2( 1 yxiiV j  中沿 i 方向的低频子 空间，),)(()1( yxiiW j  反映的是图像信号在空间 ),()2( 1 yxWj 中沿 i 方向细节的高频子空间。 从多分辨率分析可以看出，空间的每次分 解 包含两 个 部分：一部分是图像信号 经 过低通滤波后得到的低频概貌；另一部分是 经 过高通滤波（小波变换）得到的图 像高频细节。 对于低频概貌，重复以上 的 过程，最终把图像信号分解成多个等级的高频细节与最后一次低通滤波后的低频概貌之和。 下面简要介绍一下多分辨分析的数学理论。 定义：空间 )(2RL 中的多分辨分析是指 )(2RL 满足如下性质的一个空间序列 ZjjV ： （ 1）单调性： 1 jj VV ，对任意 Zj （ 2）渐进完全性：  jZj VI，   )(2 RLVUclo sejZj  （ 3）伸缩完全性： 1)2()(  jj VtfVtf （ 4）平移不变性： jjjjj VktVtZk   )2()2(, 2/2/  （ 5） Riesz 基存在性：存在 0)( Vt  ，使得  Zkktjj  |)2( 2/ 构成 jV 的 Risez 基。 满足的上述性质称为多尺度分析，即任意函数 ,应用多尺度分析将其分解为细节部分或是某一方向上的细节部分和的基本特征部分 ,然后将进一步分解，可得到任意尺度下基本特征部分以及细节部分之和。 随着尺度的减小，其张成的尺度空间所包含的函数增多，尺度空间变大。 相反，随着尺度的增大，其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。 所以，尺度越小，尺度空间 就 越大，对应频率就 越高 ；反之， 尺度越大，对应尺度空间 就 越小，频率越低。 小结 陕西理工学院毕业设计 第 7 页 共 42 页 本章主要介绍了小波变换的基本理论，包括小波函数及一维和二维小波变换的的基本概念，以及小波多分辨率分析的基本概念，主要介绍了几种常用的公式及其性质。 陕西理工学院毕业设计 第 8 页 共 42 页 Mallat 算法 1989 年 Mallat 在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨分析分解与重构的快速算法，即著名的 Mallat 算法 [2]。 该算法在小波变换中的地位相当于 FFT 在傅里叶变换中的地位，该算法的提出使小波理论得到了突破性的进展，使小波分析成为近年来迅速发展起来的新兴学科并得到了广泛应用。 由于数字图像通常用二维信号描述，因此这里只讨论二维的多分辨率分析。 Mallat 给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法 —— Mallat 算法。 Mallat 算法 经 过一组分解滤波器 H(低通滤波器 LPF)与 G(高通滤波器 HPF)对信号进行滤波，然后对输出结果进行下二采样 (即 隔一取一 )来实现小波分解，分解的结果是产生长度减半的两个部分，一个是经过高通滤波器产生原始信号的细节部分，另一个则是经过低通滤波器产生原始信号的平滑部分。 重构时 是先 使用一组 H 和 G 合成滤波器对小波分解的结果 进行 滤波，再进行上二采样 (相邻两点间补零 )来产生重构信号。 多级小波分解 是 通过级联的方式进行，每一级的小波变换都是在前一级分解产生的低频分量上的继续，重构是分解的逆运算。 低频分量上的能量集中 ， 信息丰富；高频 分量上的细节信息丰富，信息分量多为零，能量较少 [3]。 按照 Mallat 的快速算法，图像小波分解如图 所示，图像小波分解的重构算法如图 所示。 图 图像小波分解算法 陕西理工学院毕业设计 第 9 页 共 42 页 图 图像小波分解的重构算法 图像经过小波变换后，能够得到良好的空间 频率多分辨率表示，小波变换具有以下 4 个 主要特征： （ 1）原始图像的能量主要集中在低频子带图像。 （ 2）小波分量具有方向选择性，分为三个部分水平、垂直、对角，这些特性都和人类的视觉特性相吻合。 （ 3）不仅保持原图像的空间特性，同时很好的提取了图像的 高频信息。 在低频处具有很好的频率特性，在高频处具有很好的空间选择性。 （ 4）低通模糊子图具有很强的相关性，在水平子带图像中水平方向上的相关系数和大，而垂直方向上小；在垂直子带图像中垂直方向上的相关系数大，而水平方向上小；然而斜子带图像在垂直方向和水平方向上的相关系数都小。 小波变换图像增强原理 小波变换的多分辨率分析能够有效地抑制噪声，增强图像中感兴趣 的 部分， 使得 小波变换图像增强得到了 很 广泛的应用。 小波变换将图像在各个尺度上分 成 低频分量 与 水平高频，垂直高频 及 对角高频四个不同的分量，经小波变换后，根据图 像需要增强的部分做增强处理，通过对不同方向不同位置上的某些分量改变其小波系数大小，从而放大某些感兴趣的分量而抑制某些不需要的分量。 在实际应用中，通过对高频部分分量进行变换，经过处理 后 就能够达到增强图像的目的。 图 是经过三尺度小波变换分解后图像各个部分的分量，其中 LL 是低频部分，它表 示 图像的主要信息，集中了图像的大部分能量，而 HL， LH 和 HH 都 是高频部分，分别 表示 图像水平方向、垂直方向 及 对角线方向的细节。 如果对图像的低频部分继续进一步做小波分解，就 能够 得到多个尺度的图像时频信息 [4]。 图 三级塔形分解示意图 其中 LL 表示水平方向的低频成分和垂直方向的低频分量，即低频部分； LH 表示水平方向的低 陕西理工学院毕业设计 第 10 页 共 42 页 频成分和垂直方向的高频分量，即垂直边缘信息； HL 表示水平方向的高频成分和垂直方向的低频分量，即水平边缘信息； HH 表示水平方向的高频成分和垂直方向的高频分量，即对角线方向的高频分量。 由图 可知，数字图像的小波分解实质上就是 将 图像信号分解成不同频带范围内的图像分量。 每一层小波分解都将待分解的图像分解成 4 个子带 ，很好地分离出表示图像的低频信息。 因此，小波变换能够在不同的尺度上采用不同的方法来增强不同频率范围内图像细节分量，然后把处理后的系数进行小波重构，这样就能够在突出图像细节特征的同时，有效抑制噪声对图像的影响，使图像轮廓更加清晰。 用 MATLAB 程序【 1】实现 图像的二维小波三级分解及重构如图 所示： 图 图像的二维小波三级分解及重构 小波变换的图像增强的具体实现 非线性增强 图像经过小波变换后，可以分解为大小、位置和方向均不相同的分量，可以根据需要对某些部分的小波系数进行处理， 从而增强感兴趣的分量，然后进行小波逆变换，得到增强后的图像。 其函数表示为： )1(),(),()1(),(),(GjijiGGjijiWWWWinininout )(|),(|)(jijijiWWWinin (31) 其中 G 是小波系数增强倍数，是小波系数阈值， ),( jiWin是图像分解后的小波系数，),( jiWout 是图像增强后的小波系数。 具体实现步骤如下 [2]： (1) 读入原始图像； (2) 对原始图像进行小波分解，得到四个字带分别是：低频子带 LL 和三个高频子带 LH、 HL、 HH(细节部分 )； (3) 对高频系数进行非线性增强，达到去噪并增强的目的； 陕西理工学院毕业设计 第 11 页 共 42 页 (4) 将处理后的两种小波系数进行小波逆变换，从而得出增强后的图像 (输出图像 )。 用 MATLAB 程序【 2】实现如图 所示： 图 非线性小波图像增强 由图 可知，经过非线性小波变换增强后，图像的对比度明显增强，噪声得到了有效的抑制，但同时丢失了某些细节部分的信息。