小波分析在信号处理中的应用_毕业设计(编辑修改稿)

小波分析在信号处理中的应用_毕业设计(编辑修改稿)内容摘要：

理工大学毕业设计 5 Symlets 函数系是由 Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对 db 函数的一种改进。 Symlets 函数系通常表示为 symN（ N=2， 3， … ， 8） 的形式。 （ 6） Morlet（ morl） 小波 Morlet 函数定义为 xCex x 5c o s)( 2/2 ，它的尺度函数不存在，且不具有正交性。 （ 7） Mexican Hat（ mexh） 小波 Mexican Hat函数为 2/24/1 2)1(32)( xexx    （ ） 它是 Gauss 函 数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。 墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足 0)(  dxx 由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。 （ 8） Meyer 函数 Meyer 小波函数  和尺度函数  都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。  0))123(2c o s ()2())123(2s in ()2()(ˆ 2/2/12/2/1 jjee ]38,32[38343432 （ ） 其中， )(a 为构造 Meyer 小波的辅助函数，且有  0))123(2c o s ()2()2()(ˆ 2/12/1 34343232 （ ） [1] XX：小波分析在信号处理中的应用 6 傅立叶变换与小波变换 傅立叶变换与小波变换历史 小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。 它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关。 它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析 ，二者是相辅相成的。 两者相比较主要有以下不同： （ 1）傅立叶变换的实质是把能量有限信号 f（ t） 分解到以 { tje }为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号 )(tf 分解到 jW （ j=1， 2，„， J）和 jV 所构成的空间上去。 （ 2）傅立叶变换用到基本函数只有 )e xp(),c os (),s in( titt  ，具有唯一性；小波分析用到的函数（即小波函数 ）则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。 小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断的试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。 （ 3）在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。 例如，)c o s ()s in (3 4 )s in ( 321 ttt   ，但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，即无法从信号 )(tf 的傅立叶变换 )(f 中看出 )(tf 在任一时间点附近的性态。 事实上， df )( 是关于频率为  的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由 )(tf 的整体性态所决定的。 （ 4）在小波分析中，尺度 a 的值越大相当于傅立叶变换中  的值越小。 （ 5）在短时傅立叶变换中，变换系 数 ),( S 主要依赖于信号在 ],[   片段中的情况，时间宽度是 2 （因为  是由窗函数 )(tg 唯一确定，所以 2 是一个定值）。 在小波变换中，变换系数 ),( baWf 主要依赖于信号在 ],[   abab 片段中的情况，时间宽 度是a2 ，该时间宽度是随着尺度 a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。 （ 6）若用信号通过滤波器来结实，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽 f 与中心频率 f 无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽 f 则正比于中心频率 f ，即 CffQ  C为常数 亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等 Q 结构（ Q 为滤波器的品质因数，且有带宽中心频率Q ）。 小波理论包括连续小波和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在很多问题 ，因为两者都存在信息冗余，在对信号采样以后，需要计算的信息量还是相当的大，尤其是连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都做计算，所以计算量相当的大。 而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间没有正交性，各个分量的信息搀杂在一起，为我们的分析带来了不便。 小波分析在信号处理中的应用 江 西理工大学毕业设计 7 真正 使小波在应用领域得到比较大发展的是 Meyer 在 1986 年提出的一组小波，其二进制伸缩和平移构成 )(2 RL 的标准化正交基。 在此结果基础上， 1988 年 在构造正交小波时提出了多分辨分析的概念，从函数分析的角度给出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，给出了通用的构造正交小波的方法，并将之前所有的正交小波构造方法统一起来，并类似傅立叶分析中的快速傅立叶算法，给出了小波变换的快速算法 —— Mallat 算法。 这样，在计算上变得可行以后，小波 变换在各个领域才发挥它独特的优势，解决了各类问题，为人们提供了更多的关于时域分析的信息。 形象一点说，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近 )(2 RL。 在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成 )(2 RL 的标准化正交基，那么，如果对信号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时频特性。 而且由于空间数目是无限可数的，可以很方便地分析我们所关心 的信号的某些特性[2]。 傅里叶变换 在信号处理中重要方法之 — 是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。 对很多信号来说， 傅立叶 分析非常有用。 因为它能给出信号令包含的各种频率成分。 但是、傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。 而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或者瞬变）持性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的升始或结束。 这些特性是信号的最重要部分。 因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。 虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特 征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。 这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息。 而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。 这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。 如柴油机缸盖表面的震动信号就是由撞击或冲击产生 的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。 这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。 这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法。 由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力，Dennis Gabor 于 1946 年引入了短时傅立叶变换。 短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 其表达式为 dtegtfS tjR   )()(),( * （ ） 其中 *表示复共轭， g(t)是有紧支集的函数， f(t)是进入分析的信号。 在这个变换中， tje起着频限的作用， g(t)起着时限的作用。 随着时间  的变化， g(t)所确定的“时间窗”在 t轴上移动，是 f（ t） “逐渐”进行分析。 因此， g（ t） 往往被称之为窗口函数， ),( S 大致反映了 f（ t） 在时刻  时、频率为  的“信号成分”的相对含量。 这样信号在窗函数上XX：小波分析在信号处理中的应用 8 的展开就可以表示为在 ],[   、 ],[   这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，  和  分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。 很显然，希望  和  都非常小，以便有更好的时频分析效果，但还森堡测不准原理指出  和  是互相制约的，两者不可能同时都任意小（事实上，   21 ，且仅当22 24/11)(  tetg  为高斯函数时，等号成立） 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准 傅立叶不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数 g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，  ，  只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。 可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数 g(t)。 因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即  要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即  要小）。 而短时傅立叶变换不能兼顾两者。 小波变换 连续小波变换 设   RLt 2 ，其傅里叶变换为 w ，当 w 满足允许条件（完全重构条件）。 RdwwwC2^ （ ） 称 w 为一个基本小波或母小波 (Mother Wavelet)。 它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。 其中，当 0w 时，有 w =0，即   0 dtt同时有   0。 因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。 事实上，任何均值为零 (即 0 dtt )且在频率增加时以足够快的速度消减为零 (空间局域化特征 )的带通滤波器的冲激响应 (传递函数 )，都可以作为一个基本小波。 将母函数 t 经过伸缩和 平移后得到：   0。 ,1,   aRbaa btatba 其中 （ ） 称其为一个小波序列。 其中 a 为伸缩因子， b 为平移因子。 通常情况下，基本小波 t以原点为中心，因此 tba, 是基本小波 t 以 bt 为中心进行伸缩得到。 基本小波 t 被伸缩为  at ( 1a 时变宽，而 1a 时变窄 )可构成一组基函数。 在大尺度 a 上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的 a 则搜索细节特征。 对于任意的函数   RLtf 2 的连续小波变换为：     dtabttfafbaWRbaf    2, （ ） 小波分析在信号处理中的应用 江 西理工大学毕业设计 9 当此小波为正交小波时，其重构公式为：     dadbabtbaWaCtf f      ,11 2 （ ） 在小波变换过程中必须保持能量成比例，即 ：     dxxfCdbbaWadaRR fR222 ,    （ ） 由于基小波 t 生成的小波 tba, 在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以 t 还应该满足一般函数的约束条件：    dtt （ ） 故 w^ 是一个连续函数，这意味着为了满足重构条件式 ()， w^ 在原点必须等于零，即 ：     00^   dtt （ ） 此即说明 t 具有波动性。 为了使信号重构的实现上是稳定。