运用概率统计理论求极限所有专业(编辑修改稿)

运用概率统计理论求极限所有专业(编辑修改稿)内容摘要：

4 布，则 12,q q qnx x x 独立同分布， 12,p p pnx x x 独立同分布 . 而且 n21n DXn ，故  qnx满足定理 2 的条件 . 因此 ， 根据强大数定律 ， 可得 111 1 1l im 11nnqqkkn kkP X E Xn n q    ； 同样道理 ， 可以推断出 111 1 1l im 11nnppkkn kkP X E Xn n p    . 因此可知，11nnqpkkkkX EX； 进而 1212q q qnp p pnx x xx x x    满足定理 3 的 条件， 可得 121211l im q q qnp p pn nx x x ppEEx x x q q         ， 根据 数学期望性质，题目得证 . 2． 2 利用中心极限定理 求 极限 中心极限定理是概率论中讨论随机变量 和的分布以正态分布为极限的一组定理 . 这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础 ， 指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件 . 定义 2 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理 . 定理 4 (独立同分布下 LindebergLevy 中心极限定理 )若 12,xx„ 是一列独立同分布的随机变量，且存在 2,KKEX a DX 0， k=1， 2， 3„ ， 则对一切 x都有 221 1l i m2nyKxknX n aP x e d yn . 定理 5（独立不同分布下李雅普诺夫 中心极限定理） 设 1 2 n,  ， 是相互独立， 且 5 有有限的数学期望与方差 ， 2,i i i iED   令 221niikB ，若存在 0 ，使当 n时， 2121 0nn i ikBE   ， 则随机变量111 ()nnn i ikknZ B 的分布函数 ( ),nF x x R ，都有 221111l i m ( ) 2 ynn xiin kknP x e d yB      . 例 2 求证01lim !2knnn kne k  . 证明 假设 {Xn}是独立同分布的随机变量序列 ， Xn(n 1)服从参数  =1 的 Poisson分布 ， 那么存在 EXn=1， 方差 DXn = 1， n 1， 故 {Xn}满足定理 4 的条件 ， 进而可得出下面的结果 : 20 21 1l i m 02nyiinX n aP e d yn ， 即 1lim 2in P X na . 另外，由于 Poisson 分布是可加的 ， 因此，1nii X服从参数为 n的 Poisson 分布 . 进而可得出下面的结果： 0 ()niiiP X n P X k  00!!kknnnnkkee. 题目得证 . 例 3 设 12,xx， „ ， nx „ ， 为一列独立的随机变量 ， 对每个 n 1， Xn 服从 (n， n)上的均匀分布 . 试证：对 221, l im 2 ( 1 ) ( 2 1 )6 yn xknkxx R P X n n n e d y    。