基于遗传算法的iir数字滤波器的设计与仿真(编辑修改稿)

基于遗传算法的iir数字滤波器的设计与仿真(编辑修改稿)内容摘要：

(ejw)|e )(j 其中， |H(ejw)|称为幅频特性函数，  （ w）称为相频特性 函数。 幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。 一般来说，对于 IIR 滤波器，相频特性不做要求，而对于有线相位要求的滤波器，一般采用 FIR 滤波器来实现。 图 31 低通滤波器的幅值特性 图 31为低通滤波器的幅值特性， p 和 s 分别称为通带截止频率和阻带截止频率。 通带频率范围为 p0 ,在通带中要求 11 1  s ，阻带频率范围为  s ，在阻带中要求2)(  jeH，从 p 至 s 称为过渡带。 通带内所允许的最大衰减（ dB） 和阻带内所允许的最小衰减 (dB)分别为 p 和 s ，分别定义为： dBeH pjp )(lg20   dBeH sjs )(lg20   一般要求： 当p ||0时，pj peH   )(lg20 当   ||s 时， sj seH   )(lg20 武汉理工大学《数字信号处理》 12 IIR 数字滤波器的典型方法设计 利用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器的设计步骤如下： （ 1）将给定的而数字滤波器的性能指标，按某一变换（映射）规则转换成响应的模拟滤波器的性能指标。 （ 2）如果要设计的不是数字低通滤波器，则还需将步骤（ 1）中变换所得到的相应的（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标变换成模拟滤波器的性能指标，这是因为只有模拟低通滤波器才有图形和表格可以利用。 （ 3）用所得到得模拟低通滤波器的性能指标，利用某种模拟滤波器的逼近方法，设计查表求得此模拟低通滤波器的系统函数，以它作为设计数字滤波器的“样本”。 （ 4）利用（ 1）、（ 2）中的同一变换规则，将此作为“样本”的模拟原型低通滤波器的系统函数，最终变换成所需的而数字各型滤波器的系统函数 zH。 其实，利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是要把 s平面映射到 z 平面，使模拟系统函数 sHa 变换成所需的数字滤波器的系统函数 zH ，这种由复变量s 到复变量 z 之间的的映射（变换）关系，必须满足两条基本要求： 1） zH 的频率响应要能模仿 sHa 的频率响应，即 s平面的虚轴 j 必须映射到 z平面的单位圆 je 上，也就是频率轴要对应。 2） 因果稳定的 sHa 应能映射成因果稳定的 zH。 也就 是 s 平面的左半平面 Re[s]0 必须映射到 z平面单位圆的内部 |z|1。 从模拟滤波器映射成数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，主要的有以下几种映射方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。 下面来介绍下模拟滤波器的数字化方法： 设模拟滤波器的系统函数 )(sHa 只有单个极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个稳定的模拟系统）。 因此可将 )(sHa 展开称部分分式表达式： 武汉理工大学《数字信号处理》 13   Nk kka ss AsH 1)( 其相应的冲激响应 )(tha 是 )(sHa 的拉普拉斯反变换，即：   Nktskaa tueAsHLth k11 )()]([)( 其中 )(tu 是连续时间的单位阶跃函数。 在冲激响应不变法中，要求数字滤波器的单位抽样响应等于 )(tha 的抽样，即：  NknTskNknTska nueAnueAnThnh kk11 )()()()()( 对 )(nh 求 z 变换，即得数字滤波器的系统函数         Nk Ts knn TsNk knn Nk nTskn n zeAzeAznueAznhzH kkk 1 10 110 1 1)()()()()( 或者直接根据 )(sHa 求出 )(zH   1111 11)()(11 zzcHsHzHazzcsa，其中 Tc 2。 武汉理工大学《数字信号处理》 14 4 基于遗传算法的 IIR 数字滤波器的设计与仿真 Matlab 软件的概述 Matlab 是由美国 mathworks 公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。 它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如 C、 Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 Matlab 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似 ，其 高效的数值计算及符号计算功能 ， 能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来 ； 具有完备的图形处理功能 ,实现计算结果和编程的可视化 ； 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言 ,使学者易于学习和掌握 ； 功能丰富的应用工具箱 (如信号处理工具箱、通信工具箱等 ) ,为用户提供了大量方便实用的处理工具。 Matlab 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财 务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。 附加的工具箱（单独提供的专用 MATLAB 函数集）扩展了 MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。 IIR 数字滤波器的设计 数字滤波器设计的简要分析 IIR 数字滤波器的系统函数可表示为：   Nk kkkk zdzc zbzaAzH1 21210 11)( 武汉理工大学《数字信号处理》 15 滤波器的频率响应特性为：      Nk jkjk jkjkj edec ebeaAeH 1 220 11)(   若设 IIR 滤波器的理想幅频响应为 )( jd eH，则 IIR 滤波器频域最小均方差优化设计就是要求在离散频率点  Mii  ,2,1上，使所涉及的滤波器的幅频响应)( jeH 与给定的幅频响应 )( jd eH 的均方误差 21 ])()([ Mijdj eHeHE  为最小，即： 21 ])()([mi nmi n  Mijdj eHeHE  从此可以看出，目标函数 E 是增益 0A 和滤波器系数 ）， Nkdcba kkkk  ,2,1(的非线性函数。 由于共有 N 个二阶节，因此 E 是有（ 4n+1）个未知数的函数。 设向量  为： ),,,( 22221111 NNNN dcbadcbadcba  它表示除 0A 以外的其余 4N 个优化变量，这样 E 可表示为  和 0A 的函数，即： 21 00 ])()([),(  Mijdj eHeGAAEE  所以应用遗传算法我们可以首先推导出最佳增益 0A 的解析表达式，然后用遗传算法求解滤波器系数 ），、 Nkdcba kkkk  ,2,1(。 增益 0A 的计算，根据公式 （ 412）对 0A 求偏导并令其为零，则有   0)(])()([2),( 1 00 0  Mi jjdj eGeHeGAA AE  因此求出最佳增益 0A 为： 武汉理工大学《数字信号处理》 16 21i1i0)()()(MjjdMjeGeHeGA 由于只考虑幅度误差，所以 0A 的正负对结 果没有影响。 参数区间的确定，为了应用遗传算法，滤波器的每个参数都要用一个有限长的二进制字符串进行编码。 因此为了提高参数表示精度，应给出尽可能小的取值范围。 由公式可知，为了确保滤波器的稳定性，要求每个二阶节的极点都位于 z平面的单位圆内，即，使 211   zdzc kk 的零点 kz 满足 1kz ，由此可确定 kc 、kd 的取值范 围为： Nkdc kk  2,1,11,22 若在此范围内，优化结果仍出现了使滤波器不稳定的极点，那么可用其倒数代替该极点，这样可在不改变幅频响应的前提下，保证得到稳定的滤波器。 此外，若要求滤波器同时具有最小相移特性，对 kk ba、 可做与 kk dc、 相同的处理。 实例比较一般算法设计思路和遗传算法设计思路 以此题为例： 试设计一个数字低通巴特沃思滤波器。 要求通带截止频率 sradc /20xx2   ，通带 最大衰减 dB31  ，阻带起始频率 sradst /40002   ，阻带最小衰减dB202  ，采样频率 srads /20xx02  。 解 ：若采用一般方法求解： （ 1）求阶数 N，模拟巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为 Nca jH 22 )/(1 1)(  (421) 将性能指标带入此表达式，可得 武汉理工大学《数字信号处理》 17 ])/(1l g [10)(lg202lg10])/(1。