基于有限差分的油水两相渗流方程求解_油藏数值模拟毕业设计(编辑修改稿)

基于有限差分的油水两相渗流方程求解_油藏数值模拟毕业设计(编辑修改稿)内容摘要：

（华东）本科毕业设计（论文） 8 3）岩石和流体均不可压缩； 4）渗流符合线性渗流定律； 5）渗流过程是等温的。 如果研究的是油水两相稳定渗 流过程，那么液体饱和度将不随时间变化，即 0tStS wo  ，得： 0PKoo    （ 220） 0PKww    （ 221） 以上两式即为油水两相稳定渗流的综合微分方程。 有限差分法 有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。 物理学和其他学科领域的许多问题再被分析研究之后，往往可以归结为常微分方程和偏微分方程的求解问题。 一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。 有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。 在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取 连续值的特征，而关注独立变量离散值后对应的函数值。 但是从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。 因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值差值计算来近似得到。 这种方法是指随着计算机的诞生和应用而发展起来的。 其计算格式和程序的设计都比较直观和简单，因而，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分。 有限差分法的具体操作可分为两个部分： （ 1） 用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； （ 2） 求解差分方程组。 在第一 步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。 通常采用的是规则的分割方式，这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。 网路线划分的交点成为节点。 若与某个节点 P相邻的节点都是定义在场域内的节中国石油大学（华东）本科毕业设计（论文） 9 点，则 P 点称为非正则节点。 在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。 有限差分法的差分格式： 一个函数在 x点上的一阶和和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。 如对一个单变量函数 f(x)， x 为定义在区间 [a,b]的连续变量。 以步长xh  将 [a,b]区间离散化，我们得到一系列节点 1x =a, x2axx,xx 2312  hh , bhnn  xx 1， ，然后求出 f(x)在这些点上的近似值。 显然步长 h 越小，近似解的精度就越好。 与节点 ix 相邻的节点有 hix 和 hix ，因此在 ix 点可以构造如下形式的差值： ),()( ii xfhxf  节点 ix 的一阶向前差分 ),()( hxfxf ii  节点 ix 的一阶向后差分 )()( hxfhxf ii  节点 ix 的一阶中心差分 与 ix 点相邻两代男的泰勒展开式可以写为  )(!4)(!3)(2)()()( 39。 39。 39。 39。 439。 39。 39。 339。 39。 239。 iiiiii xfhxfhxfhxhfxfhxf （ 222）  )(!4)(!3)(2)()()( 39。 39。 39。 39。 439。 39。 39。 339。 39。 239。 iiiiii xfhxfhxfhxhfxfhxf （ 223）（ 222） （ 223），并忽略 h的平方和更高阶的项得到一阶微分的中心差商表示： h hxfhxfxf iii 2 )()()(39。 。 （ 224） 利用（ 222）和（ 223）式我们还可以得到一阶微分的向前，向后一阶差商表示： h xfhxfxf iii )()()(39。  ， （ 225） h hxfxfxf iii )()()(39。 。 （ 226） 将（ 222）和（ 223）式相加，忽略 h 的立方及更高阶的项得到二阶微分的中心差商表示： 239。 39。 )()(2)()( h hxfxfhxfxf iiii 。 （ 227） 利用（ 224） ~（ 227）式，我们就可以构造出微分方程的差分格式。 这里要指出的是：在构造差分格式时，究竟应该选择向前，向后还是中间差分或差商来代替微分方程中的微分或微商，应当根据由此得到的差分方程解的稳定性和收敛性来考虑。 同时兼顾到差分格式的 简单和求解的方便。 上述差分步骤应用于偏微分： 中国石油大学（华东）本科毕业设计（论文） 10 例如，对于 ),( yxff  的情况，拉普拉斯算符在 0 点作用在此函数上的值   22222 y fx ff ，也可以用临近的点上的函数值来表示出来。 （见图 ，且hhhhh  4321 时）   444422 043212 !424 y fx fhh ffffff （ 228） 图 21 节点 0 及其附近节点 对微分方程数值求解的误差来源： （ 1） 方法误差（或截断误差）。 这时由于采用的计算方法所引起的误差。 例如上面我们介绍的差商表示中，采用的泰勒展开式展开到第 n+1 项时的截断误差 )( 1nhO。 具体方法的误差阶数取决于在离散化时的近似阶数。 因此若改进算法就可以减少截断误差。 （ 2） 舍入误差（或计算误差）。 这是由于计算机的有限字长而造成数据在计算机中的表示出现误差。 在计 算机运算的过程中，随着运算次数的增加舍入误差会积累的很大。 如果在多次运算后，舍入误差的精度影响是有限的，那么这个算法是稳定的，否则是不稳定的。 不稳定的算法是不能用的。 中国石油大学（华东）本科毕业设计（论文） 11 第 3 章 油水两相渗流机理和求解 数学模型的建立 假设条件如下： （ 1） 油藏中仅存在油水两相渗流，油水互不溶解，且各自符合达西定律； （ 2） 岩石、流体均可压缩； （ 3） 考虑掩饰的非均质性及各向异性； （ 4） 不考虑油水之间毛管力的影响； （ 5） 忽略重力； 这里根据数学模型的一般式，经逐步简化，得到实验室进行单管模型的一维水驱油实验室的数学模型。 当考虑三维 非均质油藏，油水互不相容，可压缩流体和岩石，考虑毛管力和重力时，数学模型的一般式为：    LLLLLL rLL StqDgPKK    （ w,oL ） （ 31） 简化到一维，并忽略重力项：  LLLLL rLL StqxuKKx    （ w,oL ） (32） 假设： ①不考虑掩饰的压缩性（即  =常数），不考虑流体的体积变化（即 11Bo  wB， ）； ② 油水粘度为常数。 于是得： 水相： tSqxuKKx oovoo or    （ 33） 油相： tSqxuKKx oovoo or    （ 34） 式中，sclLlv qq  为地面标准状况下单位时间内单元体中注入（或采出）的体积流量。 中国石油大学（华东）本科毕业设计（论文） 12 上述两个偏微分方程中的未知量有 4个，即 w 、 o 、 wS 、 oS ，因此还需要写出两个辅助方程，即： 1ow SS （ 35） wocow PPP  （ 36） 初始条件为：     lxSSP  00x 00xwcw ， （ 37） 边界条件为：  0tqqq|q qq|q vovwvlxv vwv0xv   （ 38） 上述边界条件中，注入量产出量均为 vq ，表明该水驱油试验为稳定驱替。 上述（ 31）— （ 38）构成了该问题的完整的数学模型。 利用数值方法进行求解后，可得到在不同的注入速率下，模型中任意一点的压力、饱和度随时间的分布和变化。 数学模型的求解的方法及参数处理 对以上数学模型进行差分求解之前，这里首先对未知量的求解方法及有关参数的处理进行说明。 数学模型的求解方法 上述数学模型中有压力 oP 、 wP 和饱和度 wS 、 oS 两组未知量，本文应用隐式压力显式饱和度（ IMPES）求解法进行求解。 IMPES 方法的基本思路： （ 1）通过乘以适当的系数，合并油方程和水方程，以消去微分方程组中的 wS 、 oS ，得到一个只含有 oS 、 wP 的方程。 （ 2）由毛管力方程 wocow PPP  ，可得 cowow PPP  ，带入上面合并后的方程，得到一个只含有 oP 的方程，成为压力方程。 （ 3）方程左端达西项系数上一时间段的值，同时毛管力也 用上一时间阶段的值，即显示处理系数。 于是可形成一个高阶现行代数方程组，用迭代法可以进行求解，先求出 1noP ，然后得 nc1no1nw PPP  。 （ 4） 将 1nwP 带入水相方程，用显式方法求出 1nwS ，然后得 1nw1no 1   SS。 中国石油大学（华东）本科毕业设计（论文） 13 IMPES 方法具有所占内存小、计算工作量小、方法简便等优点。 但该方法存在两个问题：第一、达西项的系数处理是显式的，因此对如锥进的问题，由于井底周围流速较高，压差变化大，而存在较大的误差，对于强非线性问题的适应性也差；第二、饱和度的计算是隐式的，当时间步长 t 较大时，会出现解的不稳定性。 因此， IMPES 方法只适用于一般的弱非线性渗流的问题，对于某些非线性渗流的问题如注气、 气锥或水锥等问题，IMPES 方法无能为力，即使时间步长取得很小，仍会出现解的震荡或算出的压力和饱和度为负值的情况，以致模拟计算无法正常进行。 参数处理 在用有限差分对数学模型进行求解时，首先要将连续的油藏问题离散化为网格单元，然后对每一个网格单元，读入包括深度、有效厚度、孔隙度、渗透率、饱和度等基本参数。 所有给定的这些参数都是网格节点处的值，在两个网格节点中间处的参数值是未知的，因此需要进行相应的处理。 （ 1）渗透率 K 的取值 渗透率 K是空间函数，其取值由以下几种方法： 算数平均： 2 12/1   iii KKK （ 39） 加权平均： 1ii1i1iii2/1i xx xKxKK    （ 310） 调和平均： 11i1i2/1 /x/x xx  iiiii。