基于压缩感知的正交匹配算法图像重建_毕业设计论文(编辑修改稿)

基于压缩感知的正交匹配算法图像重建_毕业设计论文(编辑修改稿)内容摘要：

出一个可解的 MK 线性方程组。 西安文理学院本科毕业设计（论文） 第 9 页 然而，判断给定的 CSA 是否具有 RIP性质是一个组合复杂度问题。 为了降低问题的复杂度，能否找到一种易于实现 RIP条件的替代方法成为构造观测矩阵的关键。 文献 [8]指出如果保证观测矩阵  和稀疏基  不相干，则 CSA 在很大概率上满足RIP性质。 不相干是指向量 j不能用  i 稀疏表示。 不相干性越强，互相表示时所需的系数越多；反之，相 关性则越强。 通过选择高斯随机矩阵  作为观测矩阵即可高概率保证不相干性和 RIP性质。 例如，可以生成多个零均值、方差为 1/N 的随机高斯函数，将它们作为观测矩阵  的元素 j ，使得 CSA 以很高的概率具有 RIP性质。 随机高斯矩阵具有一个有用的性质：对于一个 MN 的随机高斯矩阵  ，可以证明当 M≥ cKlog(N／ K)时 T CSA  在很大概率下具有 RIP性质 (其中 c是一个很小的常数 )。 因此可以从 M 个观测值 12( , , y )MY y y … ， 中以很高的概率去恢复长度为 N 的 K 项稀疏信号。 总之，随机高斯矩阵与大多数固定正交基构成的矩阵不相关，这一特性决定了选它作为观测矩阵，其它正交基作为稀疏变换基时， CSA 满足 RIP性质。 为进一步简化观测矩阵  ，在某些条件下，以随机 1 为元素构成的 Rademacher矩阵也可以证明具有 RIP性质和普适性。 对观测矩阵的研究是压缩感知理论的一个重要方面。 Donoho给出了观测矩阵所必需具备的三 个条件 [9]，并指出大部分一致分布的随机矩阵都具备这三个条件，均可作为观测矩阵，如：部分 Fourier集、部分 Hadamard集、一致分布的随机投影 (uniform Random Projection)集等，这与对 RIP性质进行研究得出的结论相一致。 但是，使用上述各种观测矩阵进行观测后，都仅仅能保证以很高的概率去恢复信号，而不能保证百分之百地精确重构信号。 对于任何稳定的重构算法是否存在一个真实的确定性的观测矩阵仍是一个有待研究的问题。 信号重构 如何设计快速重构算法，从线性观测 CSY A X 中恢复信号，是第三步要将解决的问题，即信号的重构问题。 在压缩感知理论中，由于观测数量 M 远小于信号长度 N ，因此不得不面对求解欠定方程组 CSY A X 的问题。 表面上看，求解欠定方程组似乎是无望的，但是，文献 [10]和 [11]均指出由于信号 X 是稀疏的或可压缩的，这个前提从根本上改变了 问题，使得问题可解，而观测矩阵具有 RIP性质也为从 M 个观测值中精确恢复信号提供了理西安文理学院本科毕业设计（论文） 第 10 页 论保证。 为更清晰地描述压缩感知理论的信号重构问题，首先定义向量 12, nX x x … ， x的 p 范数为： 1 /p1N piP iXx  (式 ) 当 0p 时得到 0 范数，它实际上表示 X 中非零项的个数。 于是，在信号 X 稀疏或可压缩的前提下，求解欠定方程组 CSY A X 的问题转化为最小 0 范数问题： 0min T X . CS TA X X Y   (式 ) 但是，它需要列出 M 中所有非零项位置的 KNC 种可能的线性组合，才能得到最优解。 因此，求解式（ )的数值计算极不稳定而且是 NP难问题。 注意，这和稀疏分解问题从数学意义上讲是同样的问题。 于是稀疏分解的已有算法可以应用到 CS重构中。 Chen， Donoho和 Saunders指出，求解一个更加简单的 1l 优化问题会产生同等的解(要求 和  不相关 )： 1min TX . CS TA X X Y   (式 ) 稍微的差别使得问题变成了一个凸优化问题，于是可以方便地化简为线性规划问题，典型算法代表： BP算法．尽管 BP算法可行，但在实际应用中存在两个问题：第一，即使是常见的图像尺寸， BP算法的计算复杂度也难以忍受，在采样点个数满足 M cK ，  2log / 1c N K时，重构计算复杂度的量级在 3()ON ；第二，由于 1范数无法区分稀疏系数尺度的位置，所以尽管整体上重构信号在欧氏距离上逼近原信号，但存在低尺度能量搬移到了高尺度的现象，从而容易出现一些人工效应，如一维信号会在高频出现振荡。 基于上述问题， 20xx年 1月 Candes和 Romberg提出了不同的信号恢复方法，该方法要求对原信号具有少量的先验知识，同时 也可以对所求结果施加适当的期望特性，以约束重构信号的特性。 通过在凸集上交替投影的方法，可以快速求解线性规划问题。 西安文理学院本科毕业设计（论文） 第 11 页 Tropp和 Gilbert提出利用匹配追踪 (MP)和正交匹配追踪 (OMP)算法来求解优化问题重构信号，大大提高了计算的速度，且易于实现。 树形匹配追踪 (TMP)算法是 20xx年 La和 NDo提出的。 该方法针对 BP、 MP和 OMP方法没有考虑信号的多尺度分解时稀疏信号在各子带位置的关系，是将稀疏系数的树型结构加以利用，进一步提升了重构信号的精度和求解的速度。 匹配追踪类算法都是基于贪婪迭代算法，以多于 BP算法需要的采样数目换取计算复杂度的降低。 例如 OMP算法，需要 M cK ， 2ln( )cN个采样点数才能以较高的概率恢复信号，信号重构的计算复杂度为 2()ONK。 20xx年 Donoho等人提出了分段正交匹配追踪 (STOMP， Stagewise OMP)算法。 它将 OMP进行一定程度的简化，以逼近精度为代价进一步提高了计算速度 (计算复杂度为 O(N))，更加适合于求解大规模问题。 匹配追踪类方 法为其近似求解提供了有力工具，且该类方法用于稀疏信号重建时具有一定的稳定性。 文献 [12]中提出的 OMP算法延续了匹配追踪算法中原子的选择准则，但是实现了递归地对已选原子集合进行正交化以保证迭代的最优性，从而减少了迭代次数。 此后， Needell和 Vershynin等人在 OMP算法的基础上将正则化过程用于稀疏度 K 已知的 OMP算法中，提出了 ROMP算法。 ROMP算法与 OMP算法的不同之处在于，该算法首先根据相关原子挑选多个原子作为候选集，然后从候选集中按照正则化 原则挑选出部分原子，最后将其并入最终的支撑集，从而实现了原子的快速、有效选择。 最近出现的子空间匹配追踪算法 (Subspace Pursuit， SP)和压缩采样匹配追踪算法 (Compressive Sampling Matching Pursuit， CoSaMP)引入了回退筛选的思想，这些算法的重建质量与线性规划方法相当，同时重建复杂度低，但是这些算法都是建立在稀疏度 K 已知的基础上。 然而实际应用中信号的稀疏度 K 往往是未知的，由此出现了对稀疏度 K 自适应的稀疏自适应匹配追踪算法 (Sparsity Adaptive Matching Pursuit,SAMP)，它通过设置一个可变步长，逐步对信号稀疏度进行估计，因此可以在 K未知的情况下获得较好的重建效果，速度也远快于 OMP算法。 基于 ROMP算法和 SAMP算法的突出优势。 这里主要介绍 CS 理论在成像系统、图像融合、图像跟踪以及数据获取等方面的应用。 （ 1）成像系统 西安文理学院本科毕业设计（论文） 第 12 页 在成像方面， CS 理论的出现激 起了人们研究新型传感器的热情， CS 采样对昂贵的成像器件的设计产生了重大影响。 在地震勘探和核磁共振成像中，对于目标信号，将有望采用少量的随机观测次数就能获得高精度重构，取代传统数码相机拍照时采集大量像素的一种新型单像素 CS 相机已经得到论证。 相对于 CS 的理论研究进展， 美国 Rice 大学也已经研制出单像素相机，如下图 所示。 该相机具有一种全新的相机结构，使用数字微镜阵列完成图像在伪随机二值模型上线性投影的光学计算。 它可利用单一的信号光子检测器采样得到比图像像素点数少得多的点恢复图像，并具有对图像波长自适应的能 力，这种自适应能力是传统的 CCD 和 CMOS 成像器件所不具备的。 ARIZONA 大学 Baheti和 Neifeld 设计了具有特定功能的结构成像设备， DUCK 大学研制了单景光谱成像装置。 然而由于压缩重构算法的计算量比较大，难以达到实时性要求，因此实时高性能压缩感知成像系统是未来重要的研究方向。 图 单像素相机 （ 2）图像融合 图像融合是信息融合范畴内以图像为对象的研究领域。 图像融合将多个成像传感器或同一成像传感器在不同模式下获取的同一场景的图像信息加以综合，获取更为精确、全面、可靠的图像描述。 图像融合技术 在自动目标识别、计算机视觉、遥感、机器人、自动小车、复杂智能制造系统、医学图像处理以及军事应用等领域有着广泛的应用潜力 [13]。 将不同模式下的融合图像采用 CS 理论进行稀疏表示，如下图 所示。 使其在测量举证的作用下，用远小于原图像的数据量进行计算得到融合结果还原为图像表示，可节省中间融合所需的计算量，并且能够更好地利用原图像中像素间的内在联系，是一个非常值得研究的课题。 西安文理学院本科毕业设计（论文） 第 13 页 图 CS 用于图像融合的流程框图 （ 3）目标跟踪 视频目标跟踪是使用可见、红外等被动式成像传感器实现目标测量的核心技术之一，是 目标识别、视频图像的压缩编码等高层次的视频处理和应用理解的基础，也是视频监控技术自动化和实时应用的关键。 目标跟踪的实质是通过对图像传感器拍摄到的视频序列进行分析，计算出目标在每帧图像中的位置、大小和运动速度。 CS 理论自从被 （美国科学学院院士） ( 创始人 )及 (华裔科学家， 20xx 年菲尔茨获奖得主， 20xx 年被评为世界上最聪明的科学家 )等人提出后，在信息论、信号 /图像处理、医疗成像、模式识别、地质勘探、光学 /雷达成像、无线通信等领域受到 高度关注，并被美国科技评论为 20xx 年度 10 大科技进展之一 [14]。 基于 CS 理论的目标跟踪。 首先对目标进行建模，而后对后续帧图像进行相应的模型建立，将求取两模型最相似的问题转化为求取某相似参数的 L1 范数最小化问题，对高维数据的特征信息处理有明显优势，但是计算量大，复杂度高，是否对所有目标都具有鲁棒的跟踪效果有待于在目标跟踪方面做进一步研究。 （ 4）数据获取 在某些重要的情况下，完全采集模拟信号的 N个离散时间样本是困难的，而且也难以对其进行压缩。 而运用压缩感知，可以设计物理采样装置，直接记录模拟信号离散、低 码率、不相关的测量值，有效地进行数据获取。 基于 RIP理论，目前已研制出了一些设备，有莱斯大学研制的单像素相机和 A/I转换器，麻省理工学院研制的编码孔径相机，耶鲁大学研制的超谱成像仪，麻省理工学院研制的 MRI RF脉冲设备，伊利诺伊州立大学研制的 DNA微阵列传感器。 压缩感知有待研究的几个问题 压缩感知经过近年来的迅猛发展，已基本形成了自己的理论框架，包括基础理论、实现方法和实际应用。 但是，压缩感知理论还有很多亟待解决的问题，为此本西安文理学院本科毕业设计（论文） 第 14 页 文列出了压缩感知有待解决的几个关键问题。  基础理论层面： （ 1） 基于非 正交稀疏字典的压缩感知信号重建理论。 在等距约束性准则驱动的可压缩信号压缩感知定理中，关于稀疏字典  和测量矩阵  仅要求两者乘积 满足 RIP。 但是，测量矩阵设计部分关于压缩测量个数 M的界定还额外附加了假设条件，即稀疏字典  是正交基。 当测量矩阵  依然通过三种方式生成，但是稀疏字典  不再正交时，  是否满足 RIP。 压缩测量个数 M的下限是否不变。 由于过完备的稀疏字典才能保证表示系数具有足够的稀疏性或衰减性，进而能够在减少压缩测量的同时保证压缩感知的重建精度，所以需要设计鲁棒的测量矩阵  使之与过完备稀疏字典依然满足 RIP，同时需要重新估计压缩测量个数 M的下限，这时所需的压缩测量定会减少。 （ 2） 自然图像的自适应压缩感知信号重建理论。 虽然基于线性投影的压缩感知理论能够直接应用于自 然图像这样的复杂高维信号，但是由于没有考虑到自然图像的固有特性，诸如结构多成分性、高阶统计性等 ,对于自然图像压缩采样本身没有特殊的指导作用。 事实上，相对于一维离散信号 ,自然图像的复杂性和高维性使之需要自适应的压缩采样和重建算法。 例如，基于图像多成分性的特点能够提高重建图像的峰值信噪比和视觉效果。 压缩感知理论的大部分文献中，测量矩阵  都是线性的且设计好的 ， 不需根据观测信号自适应地变化。 对于自然图像，假如能够实现非线性自适应的压缩测 量，压缩感知的压缩性能势必会获得大 幅度的提高。 目前，自然图像的自适应压缩感知信号重建理论基本空白。 这项工作对压缩感知的理论推广和实际应用都具有重要意义。  实现方法层面： （ 1） 基于学习的自然图像过完备字典设计。 目前，基于构造方法的自然图像过完备字典设计具有很好的理论支撑，正则化几何方法、几何多尺度分析、基于信息论的 “有效编码假设 ”为其奠定了坚实广阔的理论基础。 但是，从国际上关于过完备字典设计的整体情况看，基于学习的自然图像过完备字典设计的工作非常少，。