基于一级倒立摆的复合控制器设计_毕业论文设计(编辑修改稿)

基于一级倒立摆的复合控制器设计_毕业论文设计(编辑修改稿)内容摘要：

通过 同步皮带 来 带动小车运动， 以 保持摆杆平衡 [12]。 直线一级倒立摆系统硬件组成 如下 ： （ 1）伺服电机 在自动控制系统中作为执 行元件 ， 又 可 称为执行电动机，它 可以 将输入的电压信号变换成转轴的角位移或者角速度输出。 通过 改变控制电压 来改 变伺服电机的转速和转向。 （ 2） 编码器 编码器有两种形式：增量式编码器和绝对编码器。 是 作为检测转速、线速度、角速度、线位移、角位移的一种传感器，精度高 、 可靠 好 ， 因此 应用非常广泛。 （ 3） 限位开关 又称 行程开关 ， 可以安装在相对静止的物体上或者运动的物体上。 当动物接近静物时，开关的连杆驱动开关的接点引起接点分断。 由开关接点开、合状态的改变去控制电路和机构的动作。 （ 4） 运动控制器 直线一级倒立摆数学模型 系统仿真就是通过对系统模型的分析来研究真实系统的特性。 所谓的真实系统，它可以是已存在的或正在设计的系统。 因此，为了实现仿真，首先要采用某种方法对真实系统进行抽象，得到系统模型，其过程称为系统建模。 经过抽象所得到的系统模型，并不是真实系统的完全复现，而是根据研究的需要从某些方面对系统进行简化提炼的结果。 这样，使得该模型既可代表真实系统的基本特征，又能使仿真工作简化和得以实 现。 自动控制领域中，建立数学模型的方法有两种，即机理法和实验法。 实验法一般只用于建立输入输出模型，它是根据输入和输出的实测数据进行进行相应的处理和计算后得到系统的模型。 其主要特点为：把研究对象视为一个黑匣子，完全从外部特性上描述它的动态性能而不需要深入了解被控对象的内部机理。 实验法在工程技术上有很大的用途，它让研究者省去了对于现实环境中复杂、恶劣被控对象的深入研究，从而让建模过程简单易行。 但是，这也并不意味着对内部过程一无所知。 这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容 [13]。 机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。 8 就倒立摆系统而言，由于其本身是自然不稳定的系统，且具有非线性等特性，应用实验法建模存在一定的困难。 另一方面，经过理想化的假设、忽略一些次要影响后， 倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统 ，应用经典力学相关理论可以方便的建立起数学模型。 这就意味着，机理建模法对于倒立摆系统更加合适。 下面就其中的牛顿－欧拉方法展开具体论述 [14]。 忽略空气阻力和各种摩擦之后，可 以 将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组 成的系统 ， 如图 3 所示。 图 3 直线 一级倒立摆 系统模型 图 在本 设计 中， 主要 应用牛顿一欧拉法对 直线一级 倒立摆 系统 进行数学建模。 在图 3 中设： X 为 小车 的 位移，单位 (m)；  为 摆杆与垂直方向的夹角，单位 (rad)； m为 摆杆的质量，单位 (kg)； M 为 小车的质量，单位 (kg)； l为 摆杆的转动轴心到摆杆质心的长度，单位 m； F 为 小车 受到 的作用力，单位 (N)； I 为 摆杆对重心的转动惯量，单位 ( 2kgm )； g 为 重力加速度 ，单位 ( 2/ms)； m M F x bx θ 0 9 b 为 小车受 到 的滑动摩擦系数，单位 (N/m/s)； 首先，对小车进行受力分析，如图 4 所示。 图 4 小 车受力图 其中， P 和 N 为小车与摆杆 之间 相互作用力的垂直和水平方向 上 的分量。 其余字母同图 3 中的说明。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程 ： M x F b x N     （ 21） 其次，对摆杆进行受力分析，摆杆的受力如图 5 所示。 图 5 摆杆隔离受力图 )s in(22 lxdtdmN  （ 22） 即 ： M F bx N P mg θ P 10 2c o s s i nN m x m l m l       （ 23） 将 等式代入上式中， 可 得系统的第一个运动方程 为： 2( ) c o s sinM m x b x m l m l F            （ 24） 对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可得方程 为 ： 22 ( c os )dp m g m l ldt    （ 25） 即： 2si n c osP m g m l m l      （ 26） 力矩平衡方程为： s i n c o sP l N l I     （ 27） 由于   ， cos cos   ， sin sin  ， 故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去 P 和 N， 可 得第二个运动方程 为 ： 2( ) sin c o sI m l m g l m l x         （ 28） 设   （  是摆杆与垂直向上方向之间的夹角 )，假设  无限趋近于零，则可以进行近似处理： cos 1 ， sin ， 2( ) 0ddt  ，用 u 来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下： 2()()I m l m g l m l xM m x b x m l u             （ 29） 对上式做拉普拉斯变换，得： )()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm g lssmlI （ 210） 推导传递函数时 可 假设初始条件为 0。 输出为角度为 Φ，求解方程组 (210)的第一个 11 方程，可以得到： )()()(22 ssgmlmlIsX   （ 211） 把式 (211)代入方程组 (210)的第二个方程，得： )()()()()()()()( 222222 sUssmlssmlsssgml mlIbsssgml mlImM     （ 212） 化简 整理后得传递函数为： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs23242)()()()( （ 213） 其中， 22( ) ( ) ( )q M m I m l m l    （ 214） 由 于系统状态空间方程表达式为： x A x B uy C x D u  （ 215） 对 x ，  解代数方程， 可 得解如下： 2 2 2 22 2 22 2 2()( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )xxI m l b m gl I m lx x uI M m M m l I M m M m l I M m M m lm l b m gl M m m lxuI M m M m l I M m M m l I M m M m l                            （ 216） 式 216 为直线一级倒立摆系统在平衡点附近局部线性化以后得到的状态方程。 将该式写成矩阵形式可以得到系统的状态空间方程为： 12 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lmlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l                                            u （ 217） 1 0 0 00 0 1 0xxxy            （ 218） 由此可见，一级倒立摆实际上是一个单输人多输出的系统。 只要将直线一级倒立摆的实际结构参数（ kg ，  ， kg ， 34I kg m， /b N m s， /g m s ）代入上面两式，得对应系数矩阵为： A=[0 1 0 0。 0 0。 0 0 0 1。 0 0]； B=[0。 0。 ]； C=[1 0 0 0。 0 0 1 0]； D=[0。 0]； 直线一级倒立摆系统分析 得到系统的数学模型后，为 了 进一步 研究 系统 的 性质，需要对系统的特性进行分析，主要是 针 对系统的稳定性、能控性及能观性的分析。 在对时不变系统进行定性分析时， 就需要 用到 现代 控制理论中的稳定性判据、能观性 以及 能控性判据 [15]。 直线一级倒立摆系统的竖直向上位置是 其 不稳定平衡点， 若要 使直线一级倒立摆 系统稳定在这个点 上，则需要 设计 出方便可行的 稳定控制器。 若要 设计控制器稳定系统， 则必须 要考虑系统 的 能控 性。 对于系统在平衡点邻域的稳定性 ，则 可以根据系统的线性模型进行分析。 李雅普诺夫稳定性判据 常 应用 于 系统的稳定性分析。 系统稳定性分析 所谓 稳定性 ，是指 如果系统由于受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当扰动 作用去除后， 若 系统能恢复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的， 反之 该系统是不稳定的。 求解线性系统稳定性问题最简单 也最常用 的方法是求出该系统的所有极点， 然后 观察 其中 13 是否含有实部大于零的极点 (不稳定极点 )。 如果 所求 极点 均小于零 ，则系统是稳定的， 反之 系统是 不 稳定的。 调用 MATLAB 函数 中的 roots(den)或 eig(A)， 即可得出 由 传递函数描述的系统 或 状态方程描述的系统的所有极点， 则 这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性了。 将实际系统的模型参数代入 MATLAB 中 ， 通过 仿真 计算得到传递函数。 实际系统参数如下 ： m 摆杆质量 Kg M 小车质量 Kg l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 b 小车摩擦系数 0 .1N/m/s I 摆杆惯量 m g 重力加速度 在 Matlab 中， 通过 拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。 仿真程序见下： M =。 m =。 b =。 I=。 g =。 l =。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies input num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] G=t。