基于matlab的fir数字滤波器设计与优化毕业论文(编辑修改稿)

基于matlab的fir数字滤波器设计与优化毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

cHe      （ 21） 对应的单位脉冲响应为 sin ( )1() 2 ccjn cd nh n e d n   （ 22） 由 信号与系统知识可知，显然这是一个非因果序列。 重庆邮电大学本科毕业设计（论文） 7 很容易想的一种方法是 “ 加窗 ” ，将脉冲响应值很小的采样点截去，这样 ()hn就为有限长，之后在通过移位操作使序列 ()hn 具有因果性，并用 ()hn 逼近理想滤波器。 这就是窗函数法的基本 思想。 最容易想 到 的是让 ()dhn这一无限长的序列乘上一个有限长的矩形序列()Rwn，即 ( ) ( ) ( )dRh n h n w n （ 23） 1 0 1()0R nNwn O t h e r s    （ 24） 称为矩形窗函数。 理想低通滤波器的单位脉冲响应 ()dhn截断后所得的序列 ()hn 的频率特性自然会发生变化，滤波器形状不再是理想矩形，图 21 给出了 M=20 和 60 的因果冲激响应的幅度响应。 由图可以看出，加窗后 的主要影响是在滤波器通带和阻带上有波动，过渡带变宽。 综上所述，必须从降低通带和阻带波动和减小过渡带上考虑，才能使所设计的滤波器逼近理想低通滤波器， 选择合乎要求的 ()Rwn是关键。 此外，保留的采样点越多，滤波器形状越接近理想。 图 非理想低通滤波器的幅度响应 由公式（ 23）可以看出逼近误差函数的实质就是加窗后产生的影响，其大小与窗函数的形状和长度有关。 重庆邮电大学本科毕业设计（论文） 8 设窗函数为矩形窗函数 ()Rwn= ()NRn，因为 ( ) ( ) ( )dRh n h n w n ，所以有 1( ) [ ( ) ] ( ) * ( )2j j jdH e F T h n H e W e   （ 25） ( 1 ) / 2si n ( ) 12( ) [ ( ) ] ( ) , 2si n ( )2j j N jR R R gNNW e F T w n e W e           （ 26） 由图 可以看出，加矩形窗在 频点 c 附近形成过渡带，过渡带 宽 约等于 ()RW 的主 瓣宽度。 另外， 加窗 还使 通带和阻带中都有波动 ， 而其 通带和阻带最大波纹的幅度与滤波器的阶数 N 无关，大约是 理想 低通滤波器幅度的 9%（即Gibbs 效应）；与此相对应的， 窗函数的 N 与 过渡带宽 反相关。 鉴于 上述原因 ， 往往 使 矩形窗 不能达到设计要求，下文中会介绍几种 其他 常用的窗函数。 二 、 常用的窗函数 其他 常用的窗函数有 Bartlett 窗（又叫三角窗）， Hanning 窗（又叫升余弦窗），Hamming 窗（又称改进的升余弦窗）， Blackman 窗（又称为二阶升余弦窗）和Kaiser 窗 [5]。 窗 21012()2112nNnNwnnN nNN        （ 27） 22 sin( / 4)()sin( / 2)NW N   （ 28） 用 Bartlett 窗设计的低通滤波器，阻带中最大旁瓣比通带增益 低 25dB，主要性能参数 25 , 25nsdB dB   。 窗 12( ) [ 1 c o s( ) ] 0 121 nw n n NN      (29) Hanning窗的频谱函数为 22( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( ) ]2 1 1RRRWW W WNN       (210) 重庆邮电大学本科毕业设计（论文） 9 由式（ 210）可见， Hanning 窗的频谱由三部分组成：即 RW 、 2()1RW N  和 2()1RW N 。 而 这三部分的 谐波 叠加使能量有效的集中在主瓣内，旁瓣大大降低 ,其代价是主瓣的宽度大了一倍 ， Hanning 窗 低通滤波器幅度响应的最大旁瓣的阻带比通带增益低 44dB。 窗 对 Hanning窗加以改进得到 Hamming窗，它的旁瓣更小，其窗函数为： 2( ) (0 . 5 4 0 . 4 6 c o s ) ( )1 Rnw n w nN (211) 22( ) 0 . 5 4 ( ) 0 . 2 3 [ ( ) ( ) ] 1R R RW W W W NNN          (212) 由资料可知， Hamming 窗可将 %的能量集中在窗谱的主瓣内。 与Hanning窗相比，主瓣宽度同为 8/N ，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣小 41dB。 用 Hamming窗设计 LPF，阻带最大旁瓣比主瓣小 55dB。 Hamming窗主要参数 41 , 53nsdB dB   。 窗 Blackman 窗同前两种窗函数一样属于升余弦窗，是在 Hamming 窗加上用于抑制旁瓣的二次分量构成的，窗函数为 24( ) ( 0 . 4 2 0 . 5 c o s 0 . 0 8 c o s ) ( )11Rnnw n w nNN   (213) 22( ) 0 . 4 2 ( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( ) ]11440 . 0 4 [ ( c o s ) ( c o s ) ]11R R RRRW W W WNNnnWWNN           (214) 其幅度函数有五部分移位不同幅度也不同的 ()RW 函数组成，使它们的旁瓣进一步抑制，阻带衰减进一步增加，过渡带也有所加宽，是矩形窗的三倍。 用Blackman窗设计的低通滤波器的旁瓣比通带增益低 75dB，主瓣和旁瓣差 57dB。 Blackman窗主要参数 57 , 75nsdB dB   。 重庆邮电大学本科毕业设计（论文） 10 窗 上述 四 种窗函数 设计的滤波器的阻带最小衰减是固定的，而 Kaiser 窗是一种可以调整的窗函数，通过调整其参数可以实现不同阻带衰减和最小主瓣宽度的滤波器。 对于给定的指标 ， Kaiser 窗可以使设计的滤波器阶数最低。 所以， Kaiser窗是最优的窗函数之一。 00()( ) 0 1()Iw n n NI     (215) ( 1 ) / 21( ) (0 ) 2 ( ) c o s ( )NnW w w n n  (216) 式中， 221 ( 1)1nN  。 其中 20 1 1( ) 1 [ ( ) ]!2 kk xIx k  (217) 实际中 k 取 前 20 项便可满足 设计 要求。 参数  可以控制窗的形状。 估算  和阶数 N 的公式如下： 0 .1 1 2 ( 8 .7 ) 5 00 .0 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 .0 7 8 8 ( 2 1 ) 2 1 5 00 2 1sss s ssdBd B d BdB          (218) B   (219) 主瓣随着  增大而加宽 ，旁瓣幅度 也随着其增大而变小。  的经典范围 49。 六种窗函数 （包含矩形窗） 的基本参数归纳在下表中，以供设计时参考。 表 各种窗函数的参数值 窗函数 旁瓣峰值幅度/dB 过渡带宽近似值（ /N ） 过渡带宽精确值 ( /N ) 阻带最小衰减/dB 矩形窗 13 4 21 巴特雷特窗 25 8 25 汉宁窗 31 8 44 汉明窗 41 8 53 布莱克曼窗 57 12 11 74 凯塞窗 57 10 10 80 重庆邮电大学本科毕业设计（论文） 11 第二节 频率采样法设计 FIR 滤波器 由于滤波器的技术指标一般是在频域给出的，频率采样法更加方便，尤其对于 ()jdHe 公式比较复杂， 不便用 公式表示 时更是如此。 一、 频率采样法设计 FIR 数字滤波器的基本原理 该方法的原理是先确定希望逼近的滤波器的频率响应函数，再通过 频率采样逼近频率响应函数。 在此理想滤波器 的频率响应函数用 ()jdHe 表示， 令 ()( ) ( )   j j jddH e H e e 在 0~2 区间，对 ()jdHe 等间隔采样 N 点，得 2( ) ( ) |   jd d k nNH k H e 01  kN （ 220） 对 N 点 ()dHk进行离散傅里叶逆变换，得到 ()hn 为 2101( ) ( )  knN j Ndkh n H k eN 01  kN （ 221） 其系统函数 ()Hz为 10( ) ( ) N nnH z h n z （ 222） 也可写成 120 1()1()1   N N dkjk NHkzHz Nez （ 223） 该式就是直接利用频率采样值 ()dHk形成滤波器系统函数的公式。 用频率采样法设计的低通滤波器的传输函数与理想的传输函数之间存在误差，所以用频率采样法设计 FIR滤波器时仍然要考虑线性相位 ()dHk满足条件。 二、 频率采样法设计线性相位滤波器的条件 以第一类线性相位滤波器为例， ()hn 是实序列， ( ) ( 1 )  h n h N n。 重庆邮电大学本科毕业设计（论文） 12 为奇数 ( ) ( ) 1 0 , 1 , 2 , .. .,( ) 0 1 , 2 , .. ., 1( 1 )( ) 0 , 1 , 2 , .. ., 1           g g cg c c cH k H N k k kH k k k k N kNkk k NN （ 224） 为偶数 ( ) ( ) 1 0 , 1 , 2 , .. .,( ) 0 1 , 2 , .. ., 1( 1 )( ) 0 , 1 , 2 , .. ., 1            g g cg c c cH k H N k k kH k k k k N kNkk k NN （ 225） 式中， ck 是小于等于 2cN 的最大整数。 对于高通和阻带滤波器， N 只能取奇数。 第二类线性相位问题可按类似方法处理。 三 、逼近误差及其采样措施 用频率采样法逼近目标滤波器，通带和阻带出现波动，过渡带加宽，实际的()jHe 与理想的 ()jdHe 相比产生误差。 从频域分析，其 Z变换 ()Hz和 ()Hk的关系为 120 1()1()1   N N dkjk NHkzHz Nez 将  jze代入，得到 102( ) ( ) ( )   NjkH e H k kN （ 226） 其中 121 s i n ( / 2 )()s i n ( / 2 )   NjN eN （ 227） 重庆邮电大学本科毕业设计（论文） 13 上式表明，在采样点 2 kN处 没有 逼近误差；在两相邻采样点之间， ()jHe由有限项的 2( ) ( )H k kN之和形成，特性越平滑的区域误差越小，特性曲线间断点处误差 越 大。 减小误差的最直观想法就是增加采样点数 N， N 越大采样点越紧密。 然而，因为 ()jdHe 是理想矩形，无论怎样增加采样点数，在通带阻带交界处，幅度总是从 1 瞬间降为 0，必然会出现起伏振荡。 所以增加采样点数不能改善滤波器的阻带衰减特性。 虽然不能通过增加采样点数改善阻带衰减特性，但是可以考虑在不连续的边缘上增加一些过度的采样点，减少畸变，从而改善起伏振荡。 增加采样点数可以 使 阻带衰减。