基于gabor小波的人脸特征提取算法研究及仿真本科毕业论文(编辑修改稿)

基于gabor小波的人脸特征提取算法研究及仿真本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

使用了一个 Gaussian 函数作为窗函数。 因为一个 Gaussian 函数的傅立叶变换还是一个 Gaussian 函数，所以傅立叶逆变换也是局部的。 Gabor 变换是唯一能够达到时频测不准的下界的函数，是图像表示中一种较好的模式，它的最大优点在于它能够达到交叉熵的最低边缘，能够最好地兼顾信号在时域和频域的分辨率， 而且人类的视觉系统对于这种函数有非常好的匹配特性。 Gabor 函数的这些特性，使得它在信号处理中获得广泛的应用，特别应用于低级视觉如纹理分割、光流估计、数据压缩和边缘检测等。 Gabor 变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，且能最好地兼顾信号在时城和频域地分辨率，但它同时也存在着自身不可克服的局限，即当窗函数 )(tg 确定后，窗口的形状就确定了，因此 Gabor 变换是一种单一分辨率的分析。 目前 Gabor 变换和 Gabor 展开已被公认是信号与图像表示的最好的方法之一。 Gabor 变换中要解决的最基本问题是：在给定综合窗下如何求解分析窗及 Gabor 变换系数。 Gabor 变换广泛应用的困难也就是在于找不到一种简单的计算变换系数的方法，因为 Gabor 基本函数彼此之间互不正交。 近十几年来，围绕这一问题国内外相继提出了很多解决方法，最主要的有以 Bastiaans、 Wexler 和 Qian 等人为代表的解析法， Daugman等人提出的神经网络方法以及 Ibrahim等人提出的自适应学习算法等等。 但不论上述哪一种方法，均为复数形式的 Gabor 变换。 Gabor 基本函数、 Gabor 展开西南科技大学本科生毕业论文 13 系数、双正分析窗函数求解的约束条件式及 Gabor 展开式都是复数形式，计算量很大。 为了简化 Gabor 变换的计算，提出了一种实数形式的离散 Gabor 变换 (RDGT)方法，这种方法类似于复数形式的离散 Gabor 变换的解析理论体系，并可采用快速的离散Hartley 变换算法计算 Gabor 变换系数，尤其是实数形式的离散 Gabor 变换系数与复数形式的离散 Gabor 变换系数的实部和虚部有着非常简单的加减关系，因此前者的计算完全可以替代后者的计算，从而达到大大减小 Gabor 复 变换系数计算量的目的；同样，在信号的重建方面，实数形式的离散 Gabor 逆变换也比复数形式的离散 Gabor逆变换快得多，并且在实际应用中，实值 Gabor 变换更方便于软件和硬件的实现。 Gabor小波变换的定义 由于 Fourier 变换存在着不能同时进行时间和频率局部分析的缺点， 1946 年Gabor 提出了一种加窗的 Fourier 变换方法，它在非平稳信号分析中起到了很好的作用。 在 Fourier 变换中，把非平稳信号过程看作是一系列短时 平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗来实现的。 整个时域的覆盖是由参数  的平移达到的。 换句话说，该变换是用一个窗函数 ()gt 与信号 ()ft相乘实现在  附近开窗和平移，然后施以 Fourier 变换，这就是 Gabor 变换也称短时 Fourier 变换或加窗 Fourier 变换。 Gabor 变换的定义由下式给出：对于 2( ) ( )f t L R , ( , ) ( ) ( )j w tG f w f t g t e d t  (21) 其中 ()jwtg t e  是积分核。 该变换在  点附近局部测量了频率为ω的正弦分量的幅度。 通常 ()gt选择能量集中在低频处的实偶函数； Gabor 采用高斯 (Gauss)函数作窗的函数，相应的 Fourier 变换以后仍旧是 Gauss 函数，从而保证窗口 Fourier 变换在时域和频域内均有局部化功能。 令窗口函数为 ()agt，则有 241() 2 t aag t ea  (22) 式中 a 决定了窗口的宽度， ()agt的 Fourier 变换用 ()aGw表示，则有 222()44( ) ( )1122j w taatr j w tj w t a waaG w g t e d te e d t e d t eaa         (23) 西南科技大学本科生毕业论文 14 由以上可以得到 ( , ) ( ) ( ) ( )jw taG f w d f t g t e d t F w               (24) 显然，信号 ()ft经过 Gabor 变换按窗口宽度分解了 ()f 的频谱 ()Fw，提取出它的局部信息。 当  在整个时间轴上平移时，就给出了 Fourier 的完整变换。 相应的重构公式为： 1( ) ( ) ( )2 jw taf t G w g t e d w d t      (25) 窗口 Fourier 变换是能量守恒变换，即 221( ) ( )2 af t d t G w d w d           (26) 这里应注意，积分核 ()jwtg t e  对所有 ω 和  都有相同的支撑区，但周期数随 ω而变化。 支撑区是指一个函数或信号 ()ft的自变量 t 的定义域，当 t 在定义域内取值时 ()ft的值域不为零，在支撑区之外信号或过程下降为零。 为了研究窗口 Fourier 变换的时频局部化特性就要研究 2,wg 和 2,wG 的特性。 这里 ,wG 是 ,wg 的 Fourier 变换。 由于 Fourier 变换是能量守恒的，所以有 Parseval定理存在。 即： ,1( ) ( ) ( ) ( )2wwf t g t d t F w G w d w    (27) 这里的 ()gt和 ()Gw分别是 ,wg 和 ,wG 的复共轭函数，当为实数时，两种表示是相等的。 如果把上述函数乘积的积分运算用内积符号表示，则有 , ( ) ( )f y f x y x d x  2, ( )f y L R (28) 其中 f 和 y 都是在实数域的平方可积函数。 由此： , , 39。 1, ( )2wwf g G F w (29) 当 ( ) ( )f x y x 时有 : 22f ,f = f ( x ) d t = f ( x ) 西南科技大学本科生毕业论文 15 其中 f(x) 叫做 ()fx的范数。 这一表达式的物理意义是 Fourier 变换的时域 t 和频域 w 的一对共扼变量 ( ,)wt 具有对易关系，从而使 Fourier 变换与加窗口的 Fourier 变换具有对称性。 如果用角频率变量 r 代替时间变量 t ，用频域窗口函数 ()Gr w 代替时域窗口函数 ()gtt 则可得到： drerGrFpdreewrGrFptwGf j r ttwj w ri w t   )()(2 1)()(2 1),( , (210) 这里 , ()wGr 是时域窗口函数 , ()wgt 的 Fourier 变换。 该式的意义在于频域中的信号 ()Fr通过窗口函数 , ()wGr 的加窗作用获得了 ()Fr 在频域 ω 附近的局部信息即： ( ) ( ) ( )F w G r w F r= (211) 如果选用窗口函数在时域和频域均有良好的局部性质，那么可以说 Fourier 变换给出了信号 ()ft的局部时一频分析。 这样就有利于同时在频域和时域提取信号 ()ft的精确信息。 Gabor 变换在人脸识别中的应用 Campben 和 Robson 提出并在心理学实验中证实，人类的视觉具有多通道和多分辨率的特征，因此，近年来基于多通道、多分辨率分析的算法受到广泛重视 [11]。 在诸如信号检测、图象压缩、纹理分析、图象分割和识别等领域， Gabor 小波得到了非常广泛的应用。 大量基于简单细胞接受场的实验表明，图像在视觉皮层的表示存在空域和空频域分量，并且可以将一幅图像分解为局部对称和反对称的基函数表示， Gabor函数正是这种基信号的良好近似。 用 ZD 一 Gabor 小波来表征图像 ，将 Daubeehies 的一维框架理论拓展到二维，并证明在一定条件下， ZD 一 Gabor 小波是紧框架，原图像能从小波系数重建，因此用小波变换的系数幅值作为特征来匹配有着良好的视觉特性和生物学背景，Gabor 小波的这些特性使得其对于亮度和人脸表情的变化不敏感，在人脸识别和图像处理中有着广泛的应用。 Lades 等首先提出用基于 Gabor 变换的弹性图匹配算法进行人脸识别。 节点上的 Gabor 滤波响应作为人脸特征，通过特征匹配和节点几何位置的匹配实现人脸识别。 Gabor 滤波器 在实验室中我们用的最多的是 Gabor 滤波器。 根据 Gabor 变换的原理和实际需要，可构造不同的 Gabor 滤波器。 Gabor 滤波器在图像处理中的特征提取、纹理分析西南科技大学本科生毕业论文 16 和立体视差估计等方面有许多应用。 有研究表明神经细胞的感受也可以用 Gabor 函数来表示。 Gabor 滤波能够体现出不同的方向性和尺度性。 Gabor 函数从实质上来说是一个 Gauss 函数窗所限制的滤波函数。 通过定义不同的 Gabor 函数核，就可以得到一组 Gabor 滤波器。 Gabor 核函数的定义 : )2e xp()e xp(2e xp)(222222 sxkis xkskxy jjjj    （ 212） Gabor 滤波可以定义为： 2 2 2 2( ) ( ) ( )jjJ x I x x x d x= Y 242。 （ 213） 下面我们对式（ 212）中的各项参数作 一个说明： exp( )jik x 是一个振荡函数，实部 为余弦函数，虚部为正弦函数。 )2exp( 222xk j 是 Gauss 函数，这实际上是通过加窗限制了函数的范围，使其在 局部有效。 由 Gauss 函数的局部性可知，这个滤波器实际上抽取 x附近的特征，因此可以看作是一种 Gabor 小波。 2exp( )2 是直流分量，这样滤波器就可以不受直流分量大小的影响。 向量 jk 描述了滤波器对不同方向和不同尺度的响应，通过选取一系列的 jk ，就得到了一族 Gabor 滤波器，  是一个常量，  和 jk 一起刻画了 Gauss 窗的波长。 这里取 =π/2， jk 可以表示为： cossi njx vujy v uk kj k kk jj== 这里 222, 8vvukuppj+== （ 214） 选取不同的下标  可以描述不同的 Gauss 窗波长，从而控制采样的尺度。 选取不同的下标  可以描述振荡函数不同的振荡方向，从而控制采样的方向。 我们这里选取 =0 ,1， 2 这样可以在 3 个不同的尺度上采样。 选取  =0 ,...,3 这样就可以在 4 个不同的方向上采样 [13]。 各个滤波器窗口的大小为 3232,确定滤波器的所有参数 (可自己决定 )后 ,当采取上述的参数后 ,可得如下图 的 12 个滤波器 (图片源代码详见附录一 )。 西南科技大学本科生毕业论文 17 图 Gabor 3 个尺度 4 个方向的滤波器 另外， Gabor 函数是唯一能够达到空域和频域联合测不准关系下界的函数，用Gabor函数形 成的二维 Gabor滤波器具有在空间域和频率域同时取得最优局部化的特性，因此能够很好地描述对应于空间频率 (尺度）、空间位置及方向选择性的局部结构信息，下面图 、 、 Gabor 滤波器的。