基于arnold置乱的数字图像加密算法的研究与实现毕业设计论文(编辑修改稿)

基于arnold置乱的数字图像加密算法的研究与实现毕业设计论文(编辑修改稿)内容摘要：

, )Fxy 代表图像的信息 (如灰度值， RGB 分量值等 )，表示图像的二元函数有其特殊性，这就是相关性。 在图像被数字化之后， ( , )Z F x y 则相当于一个矩阵，其元素所在的行与列对应于白变量取值，元素本身代表图像信息，离散化的数字图像相应于元素之间有相关性的一类特别的矩阵。 矩阵的初等变换可以将图像转换为另一幅图像，但其置乱作用较差，非线性变换则有可能增强置乱作用。 我们知道，关于一个二维图形的几何变换主要有平移、旋转、比例和错切，这些变换都可以相应地作用于原图像上。 但是平移和旋转变换都不会改变像素 间 的相对关系，由它们所生成的图像没有结构上的变化；而比例和错切变换一般都会改变图像在像素平面上所占据的位置，使原始图像中的像素点跑到图像以外的区域，因此，仅仅由这四种几何变换中的一种无法构造出我们要求的排列变换来，需要考虑同时使用其中的两种甚至四种几何变换。 针对图像矩阵变换的技术，就是将一些经基于 Arnold 置乱的数字图像加密算法的研究与实现 7 典的数学理论应用到表示图像的矩阵变换 ，从而起到对图 像加密的目的。 定义 ： 设 (1)1 ()ij n nAa ， (2)2 ()ij n nAa 是两个 nn 的拉丁方，如若 矩阵 (1) (2)(( , ))ij ij n naa 中的 2n 个数偶， (1) (2)(( , ))ij ij n naa 互不相同， , 1,2,...,i j n ，则称 1A 和 2A 正交或 1A 和 2A 是互相正交的拉丁方。 例：如1123231312A，2132213321A都是 33 的拉丁方，则由 1A 和 2A 构成的 33 的偶对方阵 (1, 1) ( 2 , 3 ) (3 , 2 )( 2 , 2 ) (3 ,1) (1, 3 )(3 , 3 ) (1, 2 ) ( 2 ,1)中没有相同元素，故 1A 和 2A 是三阶正交拉丁方。 定理 互相正交的 n 阶拉丁方的个数不超过 1n 个。 即若 12, ,..., kA A A 是两两正交的 n 阶拉丁方，则 1kn。 定理 设 3n ，且 anp ， p 为一个素数， a 是一个正整数，则存在 1n 个正交的 n 阶拉丁方1 2 1, ,..., nA A A  ；且若设 ()1 ()k ij n nAa ， 1,2,..., 1kn； iti ， 1,2,..., 1in 则 () 11k ij k i ja t t t， , 1,2,...,i j n ， 1,2,... 1kn，其中 “+”和 “ ”是 ()aGFP 域的加法和乘法运算。 设数字图像的矩阵为 1 ()ij n nAa ，其中 anp （  3且 p 为素数， a 为整数）。 由定理 知存在有 1n 个拉丁方的互相正交的拉丁方组 1 2 1, ,..., nA A A  在该组中任取两个互相正交的拉丁方设为： ,ijAA 1 , 1i j n   ， ij。 构造矩阵： ( ) ( )( , )ijij ij n nb a a  ， 则 B中的元素 ( ) ( )( , )ijij ijaa 遍历 (1,1),(1,2),(1,3),…,(1,n) ,…(2,n), 因此，将 B中的元 素 ( ) ( )( , )ijij ijaa 看作数字图像 1 ()ij n nAa 的坐标 ，而将其灰度值放于 (, )ij 点，则得变换后的数字图像矩阵，从而达到置乱图像的目的。 由于正交拉丁方中含有 1n 互相正交的拉丁方，故这种图像置乱方法有 ( 1)nn 种，而对于三维图像来说则有 ( 1)( 2)n n n种。 从实验 结果来看，其用图像的预处理或者后处理是非常有效的。 算法的周期性： 表 ： 不同阶数下的相同参数的正交拉丁方变换的周期 表 ： 相同阶数 r的不同参数的止交拉 J方变换的周期 基于 Arnold 置乱的数字图像加密算法的研究与实现 8 表 ： 不同阶数下的不同参数的正交拉丁方变换的周期 和许多置乱算法一样，基于正交拉丁方的加密算法的周期性仍有待进一步研究。 2． 2基于幻方的图像置乱变换 幻方是古老的数学问题，在中国古代的 “河图洛书 ”中己有记载。 它具有美妙的特性和奇异的结构，因而得到古今中外学者的关注和潜 心钻研。 定义 ：对于矩阵 A， 若满足如下条件：,1 1 1 1n n n nij ij jj j n jj i j ja a a a C          即矩阵 A的各行、各列、各对角线上的元素的和相等，并且有集合2{ , ( , 1 , 2 , ..., ) } {1 , 2 , ..., }ija i j n n,则称矩阵 A为标准幻方。 设嵌入对象是 nn 的像素矩阵 B，我们可以将 B与 A各元素一一对应，然后将处于 A中元素 1位置的像素移至元素 2位置处，将处于 A中元素 2位置的像素移至元素 3位置处，以此类推，最后将 2n 处的像素移至 l处。 例如，对于三阶幻方矩阵 A经过一次幻方变换后结果如下： 492357816 381246795 8阶幻方矩阵为： 幻方变换同样具有周期性，其变换周期就是 2n。 利用幻方进行置乱变换最大的困难就是寻找和基于 Arnold 置乱的数字图像加密算法的研究与实现 9 图像大小匹配的幻方，而且当 n比较大时，图像恢复时所要进行的 变换步骤大大增加，但是变换的周期有确定规律。 经过这种对图像像素的黄换，打乱了像素在图像中的排列位置，从而达到加密的目的．这种变换实质上是矩阵的初等变换，并且由于幻方矩阵是一有限维矩阵，经过 2n 次置换，又会回到原来的位置。 原始图像中相邻的像素经置乱后大都仍保持空问相邻状态，因此这种方法的置乱效果较差，为了得到较好的置乱效果，需要多次重复上面过程，成倍地增加计算量；此外，对于非正方尺寸的图像，上述置乱算法不能直接应用。 基于骑士巡游的图像置乱变换 所谓骑士巡游，就如同象棋一样，给出一块具有 2n 个格子的 ” nn 棋盘，一位骑士 (knight)按国际象棋规则移动，放在初始坐标为 ( 00,xy)的格子里，骑士巡游问题 (Knighttour Problem)就是要求寻找一种方案使之过每个格子一次，且仅一次。 该问题可以较自然地推广到 nm 棋盘。 一个 99棋盘的骑士巡游路线如 下面的矩阵 T所示，称其为巡游矩阵，其中 1表示骑士巡游的起点， (, )tij 的值表示骑士第 (, )tij 步巡游到 i 行 j 列。 骑士巡游变换：对于图像 { ( , )}nmA a i j  ，用巡游矩阵 { ( , )}nmT t i j  作置乱变换，得到图像 B。 其变换方法如下：将 A与 T按行列作一一 对应，将 A中与 T中位置 1对应 (下简称对应位置 )的象素灰度值 (或 R、 G、 B分量值 )移到对应位置 2，将对应位置 2的象素灰度值移到对应位置 3， …… 以此类推，最后将对应 nm位置的象素灰度值移到对应位置 l，就得到了按 T置乱后的图像 B。 这种按骑士巡游路径进行置乱的变换，简称为骑士巡游变换。 按骑士巡游变换对图像作置乱，不仅可以隐藏图像细节，而且可以使图像总的形象保持不变，用骑士巡游变换来作图像的隐藏，其保密度是比较高的。 密钥个数大于 Hilbert曲线、 Peano方法、 E曲线、幻方置乱变换的密钥个数。 通过骑士巡游起点 和终点的选取、巡游方向的变化以及挖洞的位置和数量的确定来构成不同的密钥，它既适合单密钥体制，也适合多密钥体制，所以，其保密度较高。 骑士巡游交换具有如下优点： (1)适用于高和宽不同的图像，而幻方变换仅适用于高和宽相同的图像； (2)置乱方法灵活，可通过编程来控制巡游的起点、终点以及巡游的方向，还可控制一些点不巡游 (挖洞 )，从而得到不同的置乱方法； (3)不仅能隐藏图像的细节，而且特别能隐藏图像中的文字信息，也可应用于其他计算机文件的加密。 骑士巡游变换同样具有周期性，其变换周期就是 2n。 基于 Arnold 置乱的数字图像加密算法的研究与实现 10 基于 Arnold变 换的数字图像置乱 对于二维可逆保面积方程： 39。 (m o d )39。 xxANyy         ， 其中 abAcd， | | 1A ad bc  ，, {0,1, 2... 1}x y N， N为数字图像矩阵的维数， a,。