受迫量子谐振子若干问题的讨论_物理学毕业论文(编辑修改稿)

受迫量子谐振子若干问题的讨论_物理学毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

 0222  dd （ 25）  (或 x)有限的点是微分方程（ 25）式的常点，而  则为其非正则奇点。 下面首先讨论方程（ 25）的解在  时的渐近行为。 当  时，方程（ 25）近似表成： 0222  dd （ 26） 其解为 22 e。 但 22 e 不满足束缚态边界条件（ 24），应舍弃，只取方 程（ 26）解为： 22 e (27) 2kx21)x(V  10 令方程（ 26）的解为 :    22e (28) 代入（ 26）可得 )( 满足的方程为： 0H)1(ddH2d Ηd 22  （ 29） 此即 Hermite 方程， 0x 为方程的常点，可在 0 的领域内用幂级数展开来求解。 计算表明，在一般情况下，其解为一无穷级数，而当 || 时，无穷级数解的渐近行为是2e)( 。 将其代入式（ 26），所得出的  并不能满足束缚态条件。 因此，为保证束缚态边条件，必须要求 )( 中断为一个多项式。 可以证 明，只有方程（ 26）中的参数满足： n21 ,n=0、 2 （ 210） 因此方程（ 26）的解为一个多项式，记为 )(Hn （ Hermite 多项式）。 由（ 29）式和（ 25）式可知，谐振子的能量本征值为  )21n(EE n n =0、 2… (211) 所以线性谐振子线性谐振子的能量只能取分离值，两相邻能级之差为  ，对应不同的n 或不同的  ，方程（ 29）有不同的解 )(Hn ，称为厄米多项式，即nnnn d ede)1()(H22，故对应的波函数为： 2/12 ]!2/[),()( 22 nAxHeAx nnnxnn     其中 （ 212） 正交归一化条件为 mndx)x(nm   （ 213） 其中对应于最低的三条能级上的谐振子的波函数如下： 2/24/132/4/112/4/102222222)12(21)(2)()(xxxexxexxex （ 214） 讨论：（ 1） )(xn 是与能量本征值 nE 对应的本征函数。 由于谐振子势（ 21）式具有空 11 间反射不变性，所以 )(xn 必有确定的宇称，可证明： （ 215） 由上式可知，当 n=偶数时 ， )(0 x 具有偶宇称； n=奇数时， )(0 x 具有奇宇称。 （ 2）处于基态的谐振子在空间的几率分布为 2220 |)(| xex   （ 216） 这是一个 Guass 型分布，在原点 (x=0)处找到粒子几率最大。 由于粒子能量 2/0 E 不难证明，在  /1 mx   时， 101 ,/)(    ExxV 为谐振子的特征长度。 按照经典力学 观点，基态谐振子只允许在 1|| x （即 1 ）的区域中运动，而 1|| x 属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠释，粒子有一定几率处于经典禁区。 （ 3）在经典力学中，在  至  d 之间区域内找到质点几率  d)( 与质点在此区域内逗留的时间 dt 成比例，即 Tdtd   )( （ 217） 式中 T 为振动周期， 有 TVdTdT 1)(1)(  （ 218） 即几率密度与质点速度成反比。 对于经典线性谐振子 )sin(   t ，在  点的速度为 212 )1()c o s (. 2  tdtdv (219) 所以几率密度与 2122 )1(  成比例。 计算表明，谐振子处前几个量子态时，几率密度与经典情况 无相似之处，随量子数 n 增大，相似性随之增加。 就平均而言， n 愈大，量子结果与经典结果越接近，差别只在于 2|)(| n 作迅速振荡。 受迫谐振子薛顶谔方程的精确解 我们将在文献 [1]提供的非齐次波戈留波夫变换的公式体系，以公式化的方法完成对受迫谐振子薛定谔方程的精确解的求解。 )()1()( xx nnn   12 含时非齐次波戈留波夫变换和 SU(1,1) h(4)量子系统 单模齐次或非齐次波戈留波夫变换广泛地应用于量子光场压缩态的定义和量子力学系统的简化处理 [2].这里我们简要列出含时非齐次波戈留波夫变换和它与 SU(1,1) h(4)量子系统结合的求解薛定谔方程的公式化方法 .非齐次波戈留波夫变换可写成矩阵形式 : ˆU ˆ ˆˆ ˆU U M W  (220) 式中 ˆU 是幺正算符 , ˆ 和 W是列矢量 ,M是一个 2 2 矩阵 * * *ˆˆ ,ˆa w u vWMa w v u  ， (221) 这里 ˆa 和 ˆa 是波色子的湮没和产生算符 .u和 v满足 221uv  .W是对应于平移的一个复数 ,在薛定谔绘景中 ,除了 ˆa 和 ˆa 外 , ˆU ,u,v 和 w 是时间的函数 ,对方程 (220)求时间导数并适当处理后 ,我们得到 ** 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )U t U t f t K f t K g t K h t a h t a k t I      (222) 式中 ˆK =21 ˆ2a,ˆK =21ˆ2a, 0ˆK = ˆˆ ˆ ˆ( ) / 4aa a a 构成 SU(1,1)李代数 ,它们满足对易关系0ˆ ˆ,2K K K,0ˆ ˆ ˆ,K K K。 ˆˆ ˆ( , , )aa I 构成 HeisenbergWeyl 李代数 ,满足对易关系ˆ ˆ,1aa  ， ˆ ˆˆ ˆ, , 0a I a I这样方程 (222)构成两个子代数 SU(1,1)和 h(4)的直积和 ,记为SU(1,1) h(4),函数 f(t),g(t),h(t)定义为 : **( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t v t u t u t v t **( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t u t u t v t v t （ 223） **( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t。