单级倒立摆控制器设计与实现(本科毕业设计论文)(编辑修改稿)

单级倒立摆控制器设计与实现(本科毕业设计论文)(编辑修改稿)内容摘要：

in aFgFh c o s （ ） 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )s i n(22 lxdtdmFsN  （ ） 即 aFmlmlxmN f s i ns i nc o s 2    （ ） 对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可得到下面方程： 周冰：单级倒立摆控制器设计与实现 12  c o ss i nc o s 2 mlmlaFgmgP  （ ） 力矩平衡方程如下： 0c o ss i nc o sc o ss i n   INlaF g laF g l （ ） 带入 P 和 N，得到方程： 0c o s2s i ns i n)2c o s(s i nc o s2c o ss i n2222xmlmlmg lmlIaF g laF g l（ ） 设   （  是摆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），带入上式。 假设 1 ，则可以进行近似处理：   2s i n,12c o s,0)(,s i n,1c o s 2dtd 由于： 231mlI 方程化为： xmmgmlaaFg    34)c o ss i n(2 （ ） 令： )c o ss in( aaFF gf  ，则化为： xmmgmlF f   342 （ ） 带入之前给出的实际数据，微分方程如下： mFx    （ ） 忽略 fF ，系统的微分方程如下： 西安理工大学本科生毕业设计（论文） 13 x   （ ） 忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。 其内部的 4 个状态量分别是滑块的位移 x、滑块的速度 x 、摆杆的角度 θ、摆杆的角速度 。 系统输出的观测量为滑块的位移 x、摆杆的角度 θ。 其控制量为滑块的加速度 x ， fF 是直线一级倒立摆运动中各种干扰因素的综合项，可以等效为干扰力考虑。 旋转一级倒立 摆的系统建模 旋转倒立摆运动分析 在建立倒立摆系统的模型时，传统的方法一般采用牛顿运动定律求解。 但是当质点组存在约束情况时，还需要确定各质点间的相互作用力、位移、速度、加速度关系，联立求解这些方程则更困难。 因此在旋转倒立摆系统建模中，是采用分析力学中的拉格朗日方程推导旋转倒立摆的系统模型。 旋转倒立摆的模型结构如图 所示，在忽略各种阻力和摩擦的条件下，旋臂和摆杆可以抽象为两个匀质杆，其中旋臂长度为 r，相对其水平方向零位的角位移为  ；摆杆质心与铰链距离为 L，相对其竖直方向零位的角位移为 a。  为旋臂角速度， a 为摆杆角速度。 周冰：单级倒立摆控制器设计与实现 14 图 旋转倒立摆系统模型 摆杆质心的速度由水平和竖直两个分量构成： yaaLxaaLV ˆ)(s i nˆ)(c o s  摆杆质心 （ 212） 其中， xaaL ˆ)(cos  表示摆杆质心的水平速度分量， yaaL ˆ)(sin  表示摆杆质心的竖直速度分量。 旋臂和摆杆一起运动，其沿水平方向 x 的线速度为： r旋臂V （ 213） 摆杆质心在 x方向和 y 方向的速度分量为： )(c o s aaLrV x    )(s in aaLV y  （ 214） 方程组（ 214）给出了完整的摆杆速度描述，应用拉格朗日方程可推导出系统的动态方程。 旋转倒立摆系统数学模型 以悬臂所在水平面为零势能面，则系统的势能 V 即为摆杆的重力势西安理工大学本科生毕业设计（论文） 15 能，因此系统势能 V可以表示为： am glm ghV c os。 系统的动能 T 由四部分因素构成，包括：旋臂在水平面内的转动，摆杆在竖直平面内的转动，摆杆质心沿 x 轴方向的速度，沿 y 方向的速度，对应的动能分量用 T1， T2， T3， T4 表示。 因 此 系 统 动 能 T 为 四 者 之 和 ， T=T1+T2+T3+T4 ， 其 中211 21 JT  , 242322 ))(s i n(21,))(c o s(21,21 aaLmTaaLrmTaJT   。 设 R 为摆杆长度，由于 L为 R 的一半， R=2L。 因此，摆杆对其质心的转动惯量 为 2222 31)2(121121 mLLmmRJ 。 带入动能等式中，可推导出拉格朗日函数 H=TV： amg LmraamL ramLJH c o s21))((c o s3221 222221    （ 215） 应用拉格朗日方程 ),(),(),( qqVqqTqqH   ，其中 H 为拉格朗日算子， q 为系统广义坐标， T 为系统动能， V 为系统势能。 拉格朗日方程由广义坐标 qi和 H 表示为：iQqiHqiHt  )(。 I=1,2， q= a, ， θ为旋臂角位移， α 为摆杆角位移， Qi 为系统沿广义坐标方向上的外力，于是的方程组： 0)()({aHaHtBTHHt eqo u tp u t  （ 216） 其中 outputT 为输出转矩。 因已知式（ 215），所以可计算出（ 216）中的各分量。 周冰：单级倒立摆控制器设计与实现 16 )(c o s)( 21 aamL rmrJH    )](c o s)([ s i n)()( 21 aaaamL rmrJHt    )(c o s34)(c o s)2(32 22   amL ramLamL ramLaH  )(c o s)(s i n34)( 2   amL ramL ramLaHt  另外易知， am g LaH s in,0 。 之后将 aHaHHH  ,   四个分量带入方程组（ 216），可得到旋转倒立摆系统的非线性方程： 0s i n)(c os)(s i n34)](c os)([ s i n)(221am gLam L ram L ramLBTaaaam L rmrJ eqo u tp u t（ 217） 将输出转矩mmgmgtgmo u t p u t R KKVKKT )(   带 入 ， 其 中 令2121 , yyxaxa    ，可以列出一个关于 2121 , yyxx  的方程组 西安理工大学本科生毕业设计（论文） 17 mmgtgmmmgtgmeqVRmrJKKxxmrJm L rxxmrJm L ryRmrJKKKymrJByyyxryxgxyrLxxx)(s i n)(c o s)()()(]s i ns i nc o s[432112211221121222122112112221 （ 218） 然后将 2y 带入 2x ，进一步化简 2x ，然后将 2x 带入（ 218），最后再化简，并且为方便起见，令 2121 )c o s34(4 mrxJE  ，并将 x1,x2,y1,y2,替换为   ,aa ，则 221 )c o s34(4 mraJE  ，最终得到旋转倒立摆系统的非线性状态方程： aaEaamrLEarBELRaKKKrEam L rEBERKKKaaeqmmgtgmeqmmgtgms i nc o s30c o s3c o s31000s i n40440010222 +mmgtgmmgtgmVELRaKKrERKKc o s3040 y=[1 0 1 0][  a a ]T (219) 周冰：单级倒立摆控制器设计与实现 18 考虑旋转倒立摆的初始位置再平衡点附近的情况，假设此时 α 和 θ 同1rad 相比，远远小于 1rad，则 214,0s i n,1c o s mrJEaa  ，将他们带入（ 219），于是该方程组可局部线性化为： aaLEarBELRaKKKrEBERKKKaaeqmmgtgmeqmmgtgm00c o s3c o s310000044001022 +mmgtgmmgtgmVELRaKKrERKKc o s3040 y=[1 0 1 0][  a a ]T （ 220） 则（ 220）即为最终得到的旋转倒立摆系统 的线性化状态方程。 系统的稳定性分析 任何一个系统最为重要的特性莫过于它的稳定性。 因为一个不稳定的系统是无法完成预期控制任务的。 因此如何判别一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题。 系统的稳定性，表示为系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种特性。 在经典控制理论中，对于单输入单输出的线性定常系统，应用劳斯西安理工大学本科生毕业设计（论文） 19 （ Routh）判据和胡维茨（ Hurwitz）判据等代数方法判定系统的稳定性，非常方便有效。 至于频域中的奈 奎斯特（ ）判据则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还能指明改善系统稳定性的方向。 本章小结 本章主要综述了数学建模的基本概念、基本方法等，并对直线与旋转一级 倒立摆进行了系统建模 ，进行了运动分析和数学模型建立。 周冰：单级倒立摆控制器设计与实现 20 第三章 单级倒立摆的控制方法 系统概述 根据单级倒立摆系统的系统建模，建立了单级倒立摆系统的系统模型框图。 具体的系统框图如图 所示。 控 制 器 倒 立 摆r输 入状 态 反 馈+— 单级倒立摆系统框图 该系统主要分为控制器和倒立摆两大部分。 该系统通过输入一个信号作为系统的初始状态，再通过选定的控制器经由状态反馈来控制倒立摆，使摆杆与竖直方向呈 0176。 ，系统 达到稳定状态并保持。 因此，如何设计一个有效的控制器使系统保持稳定状态是本论文研究的重中之重。 控制方法概述 线性系统理论控制方法 单级倒立摆系统是一。