高级微观经济学－第四章

高级微观经济学－第四章内容摘要：

高级微观经济学－第四章 第四章 需求理论 53第四章 需求理论本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。 对于消费者个人需求，主要讨论价格和收入的变化对需求的影响，尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。 对于市场总需求，主要讨论三个方面的问题：总需求是否还是价格和收入的函数。 总需求能否揭示一种消费者偏好。 总需求有什么社会福利意义。 通过对这些问题的研究，总需求的性质和变化规律便可可得到揭示。 本章的讨论仍在商品空间 中进行，即假定市场上共有 种可供选择的商品。 R第一节 集值映射集值映射是研究需求的基本工具，是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。 上一章中讨论的预算集合 同价格 与收入 之间的对应关系，以及需求集合 同价),(rpr ),(收入 之间的对应关系，都是集值映射的典型事例。 指集合与元素(点)之间的某种对应关系，或者说是一种取值为集合的映射。 具体来说，设 和 是两个集合，如果对于 种的任何一个元素 ，都有 的一个之对应，则这种对应关系就称为从 到 的集值映射，并记作。 为了x:方便起见，今后我们把集值映射也简称作集映。 对于这个概念，我们可作两个方面的理解。 首先，通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个。 其次，也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射，即把 看成是 的幂集 的元素，)(x就变成了从 到 的单值映射。 因此，集值映射 也可记作:集值映射 还可看作是乘积集合 的子集。 具体)()(:,来讲， 确定了 的一个子集 ，这个子集称:)(集值映射 的图像(如图 4示)。 显然，不同集映的图像是不同的。 集映确定:以后，其图像也就唯一确定下来。 反过来，只要图像得以确定，集映也就唯一确定了。 因此，可把集映与其图像等同看待。 对于集值映射 ，如果对任何 ，: 有 ，则称 为对应。 所以，对)(是人们更为感兴趣的集值映射。 在集值映射 下， 的子集 的像: M F : )(x 值映射的图像第四章 需求理论 54)()()(:定义设 与 都是拓扑空间，集映 叫做：:(1) 闭(紧、凸)集值的集映，如果对任何 , 都是 的闭(紧、凸)子集；x)(F(2) 在点 处上半连续，如果对于 中任何包含 的开集 ，都存在 的邻域 使得xU(3) 上半连续的集映，如果对任何 , 都在 处上半连续；(4) 在点 处下半连续，如果对 中任何与 相交的开集 ，都存在 的邻域 使得(z)(5) 下半连续的集映，如果对任何 , 都在 处下半连续；(6) 在点 处连续，如果 在点 处既上半连续，又下半连续；x(7) 连续的集映，如果对任何 , 都在 处连续；E(8) 闭集映，如果 的图像 是积空间 的闭子集；)(9) 开集映，如果 的图像 是积空间 的开子集。 集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广，上半连续性说的是不会突然彭胀，下半连续性说的是 不会突然收缩。 关于的集映连续性，下面三个)(x)(x定理是基本的和重要的。 定理 1. 设 和 都是拓扑空间，且 为 间。 又设 是闭集值的:集映，且 包含在 的某紧 子集当中。 则 上半连续的充分必要条件是 为闭集映。 定理 2. 设 是第一可数空间， 是 间， 是集映， 为某个给:x定的点， 在该点处的值 是闭集，且存在 的邻域 使得 包含在 的某紧子集当)(x中。 则 在 处上半连续的充分必要条件是：对任何 及任何序列 和x ,21( 且 时，。 ),1(定理 3. 设 和 是第一可数空间， 是对应， 为给定的点。 则 在 处下:x于任何 及 中任何收敛于 的序列 ，存x ),(收敛于 的序列 满足。 y),21(n ),21()设 和 都是拓扑空间，且 为 间， 为闭集值的闭集映，为某个给定的点。 如果存在 的邻域 使得 包含在 的某紧子集当中，则 在Ex 处上半连续。 这个推论直接从定理 1 得到，它比定理 1 可能更为有用。 定理 2 和定理 3 分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的，为研究集值映射提供了极大的便利。 第四章 需求理论 55第二节 需求的连续性根据消费最优化确定的需求，是由价格因素与收入因素共同决定的。 当这两个因素发生变化时，需求自然会发生变化。 需求变动的第一个规律，就是当价格和收入变化不大时，需求也不会发生很大的变化，即需求是随价格和收入连续变动的。 有预算的连续性，就很难保证当价格和收入的变化很小时，需求的变化也很小。 因此，为了考察需求的变动规律，需要先来考察消费预算的变化规律。 命题 1. 设消费集合 是商品空间 的非空闭子集， 则预 算集映 是闭对应。 X:证明：预算集映 是对应，这是明显的事实。 以下来证明 是闭集映，即证明 的图 像 是 的闭子集。 为此，设 为 中的任一序列，)( ),21(),(),(, 闭集，只需证明 (即 ,也即 )。 a a,实上，从 立即可知。 在此式两边取极限即可得(Gp,n ),。 故。 (. 设消费集合 是 的下有界非空闭子集， 则预算集映 上半连续。 X:证明：注意，预算对应 是闭集值的闭集映。 因此，可应用上一节中的推论来:证明本命题。 为此，设 为任一给定的点。 为了说明 在点 处的上半连续),(0r ),(0需要找出 的一个邻域 ，使得 包含在 的某个有界闭子集当中。 ,0在向量 满足 且 对一切X R),(21x1:),( 0023021 的邻域。 令 ，其中 定义如下：U),(0,(21 )(0易见， 是 的有界闭子集(从而是紧子集)。 事实上，对任何 及 ，注意 ，我们有：(),(0),21(23)1( )(),()(22)(0 023002100 第四章 需求理论 56由此可知 ，即 ，(2 ),21(3)1(20从而。 这就证明了。 既然 任意给出，因此。 的上K,(,( 半连续性得证。 命题 3. 设消费集合 是 的凸子集，则预算集映 下半连续。 X:证明：任意给定 ，我们来证明 在 处下半连续。 注意， 和 都是),(0(0r 是对应，因此可应用定理 3 来证明 在 处的下半连续: ),(0此，设 且 是 中任一收敛于 的序列。 根据定理 3，我),(00x),(0们只需找到 中收敛于 的序列 使得。 显然，。 (们按照 和 两种情形，分别来找这个序列。 : 0此时，从 及 可知，存在自然数 使得 对一切 成立。 N于是，对任何自然数 , 当 时，任意取定一点 ；当 时，令。 N),(n0然， 且。 )21()r)(： 0此时，从 知，存在 满足。 注意，z00)(00在自然数 使得 和 对一切 成立。 任何的自然数 , 当 时，任意取定一点 ；当 时，令N),(N，其中。 容易看出：)(000,a(1) 对一切 成立； 1(2) ；(3) 当 时， 且 ；) 当 时，。 且。 ),21(),x)(论是情形 1 还是情形 2，我们都在 中找到了某个收敛于 的序列 使得n。 于是， 在 处的下半连续性得证。 既然 是任,(,0),(0此 是上半连续的集映。 命题 2 和命题 3 告诉我们：预算集映的连续性. 在假设 ， 预算集映 是连续对应。 :这就是说，消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突然彭胀，又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩。 二需求的连续性现在，我们考察需求的连续性问题。 根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知，在连续的偏好下，需求集映 是对应。 实际上，需求集映还是闭集映，即下面命题所述。 命题 4. 设消费集合 是商品空间 的下有界非空闭凸子集，偏好关系 是连续的。 则求理论 57需求对应 是闭集值的闭集映。 :证明：对于任何 ， 是闭集这一事实是比较容易说明的，其依据是),(任何两个方案之间的误差异性。 下面来证明 是闭集映，即证明X, 闭子集。 为此，设 是 中的任一序列，)(),21(),(我们来证明 ，即欲证明x),(0 0也即要证明 且 对一切 成立。 ,00x,(0rpy,0y注意， ， ， ，并且预算对应 上)2,1(,()n连续(命题 2)。 因此，。 0再注意，预算对应 还是下半连续的(命题 3)。 因此，对于任何的 ，都存),(0的序列 满足 且。 既然 ，X),(偏好 的连续性保证了可在此式两边取极限，于是。 这就(x 即。 可见， 是 的闭子集。 )00a,(0命题 5(需求集映的连续性). 设消费集合 是商品空间 的下有界非空闭凸子集，偏好X连续的。 则需求对应 上半连续。 :证明：由于命题 4，我们可应用第一节中的推论来证明本命题。 设 任意给定。 ),(0 的时候，曾经找到了 的一个邻域 使得 包含在 的某个有),(0界闭子集 当中。 由于 ，因此这个邻域 也必然使得 包含在 的这K),(中。 既然 是闭集值的闭集映，根据第一节中的推论便知 在 处D ),(0 是任意给定的，于是 是上半连续的集映。 命题 5 得证。 ),(0连续的严格凸偏好假设下，理性消费者的需求映射 得到了良好的定义(即对于任何 ，需求向量 是唯一确定的。 不仅如),(，从命题 5 可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题 6 所述)。 因此，只要价格与与收入的变化很小，需求的变化也就很小。 命题 6(。