半参数核估计理论及应用毕业论文(编辑修改稿)

半参数核估计理论及应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

于最小二乘准则下对线性半参数模型的一系列估计理论做了系统分析，同时也研究了非线性半参数模型中对参数分量的估计值的求解和推导了参数分量的统计性质，并将非线性模型运用到实际问题中 — 提取和分离 GPS 定位中包含的系统误差；胡宏昌（ 20xx） [28]对于半参数模型中的附有系统参数的平差模型做了深入研究，解算出半参数模型中非参数分量的结果并推导其统计性质，对半参数补偿最小二乘法中的关键 问题 — 如何选取正则矩阵 R 和光滑因子  用做了较为系统的研究；潘雄（ 20xx） [27]主要研究了半参数补偿最小二乘法，计算出半参数模型中各估计量的结果并推导出估计量统计性质的计算公式，最后根据其统计性质判断出不同平差模型的适用范围；丁士俊 [25]（ 20xx）在参数回归诊断方法的基础上研究了半参数模型的数据诊断方法，提出了稳健估计方法并推算出估计量的基本公式，同时探讨了半参数平差模型中的广义最小二乘估计，提出了抗差广义补偿最小二乘估计方法，最后将半参数平差模型应用到 GPS 变形分析等问题中；王振杰 (2006)[29]基于不同的正则化参数和正则化矩阵，对半参数补偿最小二乘法中的不适定问题做了研究。 观测数据是我们进行测绘研究和分析的基础，然而人们运用各种测量手段得到测量数据，由于观测条件、系统误差、偶然误差等原因，观测结果与被观测量的真实值产生了差异，这就是测量中产生的各种误差，如何提高观测数据的质量和有效地减小测量中的误差，最终得到观测数据的最佳平差值，这是测量平差中即测量数据处理中，我们所要解决的最重要问题。 而我们所用的经典平差模型是高斯一马尔柯夫模型，具体形式如下： 函数模型： （ 11） 中国地质大学（武汉）学士学位论文 3 随机模型： （ 12） 在上述平差模型中，观测值只包含参数分量，表现为参数分量的线性形式，但是这种平差模型求解有一个前提条件：观测值只含 有偶然误差。 在这种理想情况下，偶然误差的数学期望为零，运用最小二乘准则，最终解得参数分量的解，根据其统计性质可以验证参数解的偏差为零，即为无偏估计量。 但是随着科学技术的不断进步与发展，先进的观测技术、精度更高的仪器已经应用到测量数据采集中，这样使得所测数据不含有系统误差或者模型误差这种理想的情况不存在。 总而言之，随着测量数据的复杂性增加和解算精度要求增高，使得经典的平差模型已经难以处理现代测绘数据。 一是因为影响观测值的因素众多，往往无法全面得考虑到所有的影响因素；其二是由于参数与观测量的函数关系较为复杂，只 是用简单的线性模型来对实际问题进行近似描述往往也是不精确的。 最后是随机模型也会产生难以消除的误差。 所以，经典的高斯平差模型并没有从根本上消除观测数据中的误差，也没有从本质上区分系统误差与粗差，当平差模型存在系统误差或者粗差时，经典平差模型就会失去处理数据的能力。 综上所述，对不同的平差模型进行深入研究，更加精确地解算观测量的最佳估值是现代测量数据处理中的基本首要内容。 对于较为复杂的测量数据，一般情况下影响观测量 的因素可分为两方面：一部分影响因素与 的关系表现为是己知的线性关系，并且是观测值的主要影响项，最终可以用参数通过数学关系式或者经验来表达；而另一部分影响因素与 的关系完全是未知的，某些学者将这些因素作为观测量的干扰项来处理，并不是误差项的一部分。 如果运用参数模型处理，则忽略了干扰项；但是若采用非参数模型处理，又会失去观测值的主要影响项，模型对实际问题的描述能力也明显降低。 为了弥补参数和非参数模型的各自不足，测绘学界又将统计领域中的偏线性回归模型引入到测量数据处理中，这就是现在的半参数平差模型，并取得了显著的研究成果。 半参数回归模型是统计领域的 一种重要的估计模型，形式如下，给我们解决上述问题提供了思路： 1111   nnttnn SXBL （ 13） 上式中： S 是表示观测值 L 函数关系中的系统误差量或者是模型误差，是关于参数个数 t 的函数，由于数据来源的复杂性，造成了作为模型误差或系统误差的 S 的形态难以用单一的回归模型进行模拟，不能仅仅只用少数的参数表示，所以在这个 n 因个观测方程中都添加一个未知量 ( 1, 2 , )iS i n ，这 n 个未知量组成的 n 维列向量就是半参数模型中的非参数分量，这样的形式比一般的平差模型具有更强的求解最佳估计量的特性：一是因为半参数回归模型克服 了传统平差模型在处理复杂数据时的不适应性；二是半参数模型与客观实际 中国地质大学（武汉）学士学位论文 4 更加趋近；三是在已知观测值 L 和参数关系 B 的情况下再运用一定准则对半参数模型进行求解可以分别求出模型中的估计量即参数分量 X 、非参数分量 S 、  ，它们分别代表观测中的真值、系统误差、偶然误差。 因此，我们可以将半参数模型与测量中许多方面结合进行系统误差提取等。 当今统计界对半参数模型的估计方法研究得较多的主要有样条估计，最小二乘核估计，三角级数估计和分块多项式估计，而且参数部分的模型只适用于线性函数模型，对于非线性模型研究得较少。 在统计领域，关于半参数模型的估计问题被认为是一个带有无穷维多余形状参数的欧氏空间的点估计问题。 半参数模型的估计途径归纳起来有三种：第一种是对函数空间施加一定的限制；第二是两步估计，本文主要研究的最小二乘核估计就是典型的两步估计；第三是两阶段估计。 在测量数据处理中， 目前有研究的主要是基于补偿最小二乘准则的光滑样条估计，而近邻估计、小波估计、二阶段估计、分块多项式估计、核估计、三角级数估计等其他估计方法却没有进行深入探讨。 到目前为止，在测绘界中对半参数平差模型研究具体主要分为以下两种： （ 1）附加系统参数的半参数平差模型： L Bx S   （ 14） 上式中，观测值 L 为 n 维列向量，参数向量 x 为 t 维列向量， t 为是经典平差模型中求得唯一解的必需观测数， B 代表了参数分量的关系，是一个列满秩矩阵，观测误差向量 为 n 维列向量， n 维未知向量 12[ , ,..., ]TnS S S S 是描述了模型误差或者观测中的系统误差。 其误差方程的形式为： V Bx S L   （ 15） 根据最小二乘准则 minTV PV  ，求得法方程为： T T TB P B x B P S B P L （ 16） 在上式中 P 为观测值 L 的权阵，是一个对称正定方阵； x 和 S 是待求参数分量（ t 个）和非参数分量（ n 个），但是观测值方程只有 t 个，因而无法求得唯一解。 这时就必须引入新的平 差准则对结果进行约束：定义一个光滑因子  和矩阵 R ，它们在 V 和 S 之间起平衡作用，通过改变  和 R 得出最佳值，具体形式如下： m inTTV P V S R S  （ 17）（ 2）基于外延预测的半参数平差模型，其具体表达形式为： L BX s   210       （ 19） 在上式中：观测向量 12[ , ,..., ]TnL L L L 为 1n 维向量；待估参数 12[ , ,..., ]TtX X X X 为1t 维向量；模型非参数部分 12[ , ,..., ]Tns s s s 为 1n 维向量，由于它可以表达出与观测值函数关系不确定的因素部分，对观测值进行部分调整，其拟合程度更加精确，使得最终平差值与真实值很接近。 ()iis st ， st 为某一函数空间上的关系未知函数；12[ , ,..., ]T T T TnB b b b 为代表了参数关系，是一个 1n 维列满秩矩阵；观测误差向量12[ , ,..., ]Tn    为 1n 维向量。 中国地质大学（武汉）学士学位论文 5 上面这两种模型的主要区别是在于解算的过程中：模型（ 14）是先计算非参数分量 S再计算参数分量 x ；模型（ 19）是先计算参数分量 X 再计算非参数分量 s。 参数平差模型中的函数形式是已知的，而非参数平差模型中的回归函数是未知的，所以参数模型只是需求解待定参数。 由以上内容分析可知，半参数平差模型的两个特例是参数平差模型与非参数平差模型，当 0B 时为非参数平差模型，将 S 归入误差项则为参数平差模型。 167。 半参数核估计理论应用研究现状 目前国内外对于核估计已经做了很多研究：在国外， Silverman（ 1986） 对自适应核估计做了研究； （ 20xx） 对非对称核密度估计进行了研究，并深入讨论了如何偏差校正； Scott（ 1992） 、 Jones（ 1995） 研究了核光滑估计 ； Peter （ 20xx）对高阶核半参数估计做了研究； 、 （ 20xx） 对如何运用核密度估计来消除半参数边界误差以及交替的核混合密度估计做了研究； Sebastiano Manzan（ 20xx） 对基于偏线性相加模型下的核密度估计做了研究； Eva Ferreira（ 1997） 对在不稳定情况下的相关误差，讨论了核回归估计中的曲线 如何增长； Tae Yoon Kim（ 1995）对较强混合过程中的核密度估计做了研究； （ 1996） 对数据驱动密度估计及其相关应用做了研究； Nils Lid Hjort（ 20xx） 对核密度估计中的最佳窗宽选取做了研究； Bert van Es（ 1997）对非光滑核密度估计中的积分均方误差进行了分析； Yuri Goegebeur（ 20xx） 对极值统计中的参数核估计做了研究； . Karunamuni（ 20xx） 对有限混合模型核估计的渐进正态自适应性做了研究； Fateh Chebana（ 20xx）， Michel Carbon， Carlos Tenreiro， Abdelkader Mokkadem， Delaigle 等学者均深入研究了核估计。 在国内， 洪圣岩对如何在核估计中选取最佳窗宽做了研究；薛留根对密度函数核估计进行了相关问题的研究； 赵林城（ 1984）将核估计同近邻估计进行了对比，并且通过  的自适应估计最终可以得到最优收敛速度； 秦更生对随机删失场合中的部分线性模型的核光滑方法进行了研究；王启华对随机删失情况下概率密度核估计中的光滑 Bootstrap 逼近进行了分析； 朱仲义、李朝晖对最小二乘估计与半参数函数模型的核进行了研究。 将半参数回归模型同核估计理论相结合并应用到测绘领域，是一种全新的测量平差方法，虽然目前不管在理论研究还是实际应用方面都研究得较少，但是也取得了许多的成就：丁士俊 [25]将详细分析了偏核光滑估计和偏残差核估计方法，并对两种方法的估计性能和效果进行了对比分析；张松林 [26]解算出最小二乘核估计的非参数分量和参数分量的公式，对参数分量的估计结果的有偏性和渐近正态性进行了证明；潘雄 [32]用半参数模型中的非参数分量来 模拟 系统误差 ， 提 出 了处理 测量中系统误差 的一种新方法 等等。 中国地质大学（武汉）学士学位论文 6 第二章 半参数核估计方法 167。 半参数核估计理论 目前，研究半参数平差模型的主要方法有偏样条估计、最小二乘估计、分块多项式估计、二阶段估计、多项式估计、三角级数估计、小波估计等，但是目前只有张松林 [26]、丁士俊 [25]等对于半参数平差模型中的核估计进行了研究。 本文所要研究的半参数核估计理论方法，其模型形式为式 (19)。 在本章，主要研究的核估计理论，包括核函数和核权函数的定义与选取；介绍了偏核光滑估计和最小二乘核估计两种估计方法。 在小样 本的情况下，选取不同的核权函数，不同的核函数，估计结果也就不一样，不同的核估计方法有不同的特点，因而两种半参数核估计方法也有各自的适用范围。 在数理统计学中，我们在判断和估计一个数学模型的主要思想就是用从总体样本中所随机抽取的部分样本来对总体进行估计，而本文研究的核估计就是来源于这种思想。 在此基础上，数理界定义了核估计： 设 12, ,... nX X X 为己知给定样本空间中独立同分布的一维随机变量，且 ( 1,..., )iX i n 的密度函数 ()fx未知，则可以得到一组形式如下的函数： 11( ) ( )n ininnxXf x Knh h  （ 21） 其中 ()K 为定义在（  ,。