功能梯度压电悬臂梁的弯曲问题毕业论文(编辑修改稿)

功能梯度压电悬臂梁的弯曲问题毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

比精确解简毕业论文 第 11 页 共 35 页 洁得多，便于数值计算和应用 [6]。 毕业论文 第 12 页 共 35 页 3 功能梯度压电悬臂梁的弯曲分析 问题描述 考虑如图 1 的正交各向异性功能梯度压电悬臂梁， 从 弹性力学的基本方程出发，利用半逆解法，假设材料的所有电弹性常数沿厚度方向按同一函数规律变化。 梁长 ，宽 ，厚度 ，上表面受到均布载荷 ，自由端作用剪切载荷 和力矩。 (1) 其中 是梯度函数 ， 分别是弹性、压电和介电系数 , , , 是相应的材料参数在 处的值 图 1 功能梯度压电悬臂梁示意图 当三维压电介质在 轴方向的尺寸较其他两轴方向尺寸小得多，且全部载荷均匀作用在 平面内且不沿 轴方向变化时，问题可以简化为 平面内的平面应力问题；而 当三维压电介质在 轴方向的尺寸较其他两轴方向尺寸大得多，且全部载荷均匀作用于 平面内且不沿 变化时，问题可以简化为 平面内的平面应变问题。 由于问题的相似性，本文只讨论平面应变问题。 基本方程 设 wu, 是位移分量 , 是应力分量 , , 为应变分量， , 是电场分量 ，是点位移分量， 是电势 则有： 毕业论文 第 13 页 共 35 页 电学平衡方程 (2) 力学平衡方程 (3) 本构方程 (4) (5) 应力应变关系 (6) 电场与电势之间的关系 (7) 应变协调方程 (8) 边界条件 对于悬臂梁，边界条件如 下： 力边界条件： 在 处 (9) 毕业论文 第 14 页 共 35 页 (10) (11) 电边界条件 ： 在 和 处 (12) (13) 固定端位移边界条件 ： 在 处 (14) 应力函数法 引入艾利应力函数 ,满足 (15) 将 (5)， (7)和 (15)式代入电平衡方程 (2)，得到 (16) 将 (4)， (7)和 (15)式代入应变协调方程 (8)，得到 (17) 弯曲应力 主要是由弯矩产生的，切应力 主要是由剪力产生的，而挤压应力 主要是由荷载 q 产生的，现因 q 为常数，可以假设仅仅是 y 的函数 即 毕业论文 第 15 页 共 35 页 于是有 而 假设 (18) (19) 引入如下符号 毕业论文 第 16 页 共 35 页 将 (18)(19)代到 (16)和 (17)得到下列关系 (20) (21) (22) 其中 求解 (20)~(22)式，可以得到 和 ，由此求的出应力函数以及电势函数，由此可以求得应力、应变、电场和电位移为 (23) (24) 毕业论文 第 17 页 共 35 页 (25) (26) (27) (28) (29) 毕业论文 第 18 页 共 35 页 (30) ， (31) (32) 其中 , , , , , . 将 (26)式对 积分，得到 (33) 将 (27)式对 积分 ,得到 毕业论文 第 19 页 共 35 页 (34) 将 (28),(33)和 (34)式代到 (6)式的第三式可求得 : (35) (36) (22)~(36)式中各系数可由边界条件 (9)~(14)确定 ， 见附录 算例 考 虑 一 功 能 梯 度 压 电 悬 臂 梁 仅 受 均 布 压 力 作 用的情况，假设梯度函数为 ， 其中 是梯度指数，在这里我们应分别取 为 0,1,2。 在 z=0 处的材料常数为 PZT4 材料的相应数据，如下表 表 1 PZT4 材料的物性参数 弹性模量 / 压电常数 / 介电常数 / 135 300 525 下面 给出了梁的一些物理量随坐标 z 的变化情况，由此可见，无论是功能梯度压电梁毕业论文 第 20 页 共 35 页 （ ）还是均质压电梁 ，位移 沿厚度方向几乎不发生变化，近似为常量。 所有的物理量的变化曲线与均匀压电梁情况比都有一定偏离，而且梯度参数 越大，偏离越大。 对于功能梯度压电梁（ ）， 厚度方向呈非线性变化，而位移 沿厚度方向保持为线性分布，但在 处，当 时， 位移 并不为零。 法向应力 和电位移分别比其他应力和电位移小的多，实际上可以忽略。 上述这些特征在建立功能梯度压电梁的简化理论时可以考虑。 图 2 自由端位移 u(0,z)/m 毕业论文 第 21 页 共 35 页 图 3 自由端位移 w(0,z)/m 图 4 固定端应力 (1,z)/Pa 毕业论文 第 22 页 共 35 页 图 5 固定端应力 (1,z)/Pa 图 6 固定端应力 毕业论文 第 23 页 共 35 页 图 7 固定端电位移 图 8 固定端电位移 毕业论文 第 24 页 共 35 页 4 全文 总结 与工作展望 总结 利用半逆解法，本文给出了功能梯度压电材料悬臂梁二维 弯曲问题的解析解。 假设所有电弹性材料常数沿厚度方向按同一函数规律变化，获得了功能梯度压电梁在上表面受均布压力、自由端受集中力及集中力矩联合作用问题的力电 耦 合场。 该解适用于 任意梯度函数分布的情况，因此可以用来作为校验功能梯度压电材料梁简化理论以及近似数值方法的依据。 所采用的方法还可用于 求解其他边界条件下的功能梯度压电梁问题。 展望 本文研 究的主要方法采用的是半逆解法，在今后的研究过程中还可以尝试着用 其他方法，比如：逆解法、数值分析法等等。 开展对功能梯度材料相关结构的实验研究，从实验结果方面 进一 步验证本文得到的一些结果 毕业论文 第 25 页 共 35 页 参 考 文 献 [1]于涛 ,仲政 .功能梯度压电臂梁的弯曲问题分析 .中国科学 G 辑， 20xx,36(5)。