关于函数的连续点与不连续点的讨论_毕业设计(论文)(编辑修改稿)

关于函数的连续点与不连续点的讨论_毕业设计(论文)(编辑修改稿)内容摘要：

9。 39。 39。 41 xxyyyy  或 3 39。 39。 39。 39。 39。 39。 44 xxyy  对于任给的 0 ，要  39。 39。 39。 yy ，只要 4 339。 39。 39。 xx 或 4339。 39。 39。 xx 即可 . 取 40 3 ，则当  39。 39。 39。 xx 时，恒有 3 39。 3 39。 xx 1 当  1 时， 41 ； 2 当  时，。 4 3 当  时，。 10 4 当  为任意小数时， ).1(43   5 函数在区间 I 上绝对连续 设 f 为定义在闭区间  ba, 上的实值函数，若对任给 0 ，存在 0 ，使得对任意 Nn ，当 ii yx,  ba, ， , ii yx 则称函数 )(xf 在区间  ba, 上绝对连续 . 例 设 f 是闭区间  ba, 上的 Lebsgue 可积函数，则 f 的不定积分    CdttfxF xa   （其中 C 是任意常数）是闭区间  ba, 上的绝对连续函数 . 证明： 由积分的绝对连续性 ,对任意的 0 ，存在 0 ，使得对  ba, 中的任 意可测集 A，当   Am 时，    dttfA,于是对闭区间  ba, 上的任意有限个互不相交的开区间   niii ba 1,  ，当   ni ii ab1时，令  ni ii baA 1 ,，则 Am   ni ii ab1,于是    ni ii aFbF1 nibaiidttf1   dttfnibaii1  dttfA 因此 F 是  ba, 上的绝对连续函数 . 6 二 相关概念的比较 及例题分析 函数在区间上连续与在区间上一致连续的区别与联系 ： 函数的连续与一致连续的区别在于  的选取是否与 1x 或 2x 有关 .若函数 f 在区间 I 上连续，是用在区间 I 上每点处都连续来定义的，因此，  的选取与 1x 的选取无关 .而一致连续性不然，  的选取只与  的大小有关，与 1x ， 2x 的选取无关，这表明函数在区间的一致连续性不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是 “ 一致 ” 的，这是对函数的 “ 整体性 ” 的要求的增强 .函数的连续性是函数一致连续的必要条件 .函数一致连续性的实质，就是当这个区间的任意两个彼此靠近的点上的值的差，就绝对值来说，可以任意小，即任意的 21,xx ，当  21 xx 时就有  )()( 21 xfxf .一般地，函数的连续性以及一致连续性反映的是函数的自变量的变化与函数值变化之间的关系，与可微性无关 .总的来说，函数 f 在一点处的连续性是局部性质，而函数 f 在区间 I 上的连续性和一致连续性等表示 整体性质 .例如函数 xxf 1)(  在区间 1,0 就是如此 . 但是函数在某些条件下是一致的，我们从定理中可以得到，如： 函数 )(xf在  ba, 上连续当且仅当函数 )(xf 在  ba, 上一致连续。 、如果函数 )(xf 在 ),( ba上连续，如果 )(xf 在 a 点的右极限、在 b 点的左极限均存在，那么可将函数 )(xf延拓为  ba, 上的连续函数 .、若函数 )(xf 在 ),( ba 上一致连续，则 )(xf 在 a 点的右极限、在 b 点的左极限均存在 . 以上三条定理说明，有界区间上的一致连续函数均可看作有界闭区间上的连续函数 . 例 证明：函数 xxf 1)(  在区间 1,0 上是连续的，但在此区间上并非一致连续的 . 证明： 连续性是显然的，先证其不一致连续 .考虑 1,0 上的两串点 nxn 1， .1139。 nxn 则当 10 0 时，不论 0 取得多小，只要 n 取得充分大，总可以使  )1( 139。 nnxx nn 但是， 039。 1)()(  nn xfxf 因而， xxf 1)(  在 1,0 上并非一致连续 . 7 例 证明：若函数 )(xf 在域 xa 上有定义并且是连续的，而且)(lim xfx  存在，则 )(xf 在此域上是一致连续的 . 证明： 任给 0。 由于 )(lim xfx 存在，故必存在 aX ，使当 XxXx  ,时，恒有      xfxf。 由于 )(xf 在  1, Xa 上连续，故一致连续，从而必有正数  存在，使当x  1, Xa ， x  1, Xa ，  xx  时恒有      xfxf。 令 }.1,min{  现设 xx , 为满足 ,xa ,xa  xx  的任何两点。 由于  xx  ，故 xx , 或同时属于  1, Xa ，或同时满足 XxXx  , ，因此 ，恒有      xfxf ， 故 )(xf 在 xa 上一致连续 .证毕 . 函数的一致连续性与绝对连续的区别与联系 ： 一致连续与绝对连续的差别在于  的选取，一致连续性对  的要求是  与  有关，还要与数对 ),( ii yx 的 “ 个数 ” n 有关，即 ),( n ；而绝对连续性不然，它只与  有关，与数对 ),( ii yx 的 “ 个数 ” 无关。 绝对连续的函数一定是一致连续的，而反之不然。 但要深入了解二者的内在特征，还需从其他方面做深入的剖析与对比 . 例 证明：设函数 g 在 E 上 L 可积，若对任意的 0 ，存在 0 ，使当可测子集 Ee 且 me 时，就有 e dxxg )(，则称函数 g 在 E 上的 L 积分具有绝对连续性。 证明：事实上，只要函数 g 在 E 上 L 可积，则其积分必具有绝对连续性 . 如果函数 g 在  ba, 上 L 可积，则对任意的 0 ，存在 0 ，使得对任意 Nn ，当且 ni iixy1时，就有   ,)()()()( 1 ,1     dttgdttgxfyf eni yxni ii ii其中  .,1ni ii yxe  例 证明：函数 f 在  ba, 上一致连续当且仅当对任给 0 ，对任意的Nn ，存在 0 ，而当 iiyx,  ba, ， ,...,2,1,11 niyxyx iiii   满足ni ii xy1 时，就有 ,)()(1 ni ii xfyf 8 证明：只要取 1n ，即可知定理的充分性成立 .下面证明必要性 . 设函数 f 在  ba, 上一致连续，当且仅当对任给 0 ，对任意的 Nn ，存在0 ，当  , bayx  , . . . ,2,1,11 niyxyx iiii   满足 ni iixy1时，就有  nnxfyfni ii1)()( 成立 .证毕 . 9 三 函数连续性的相关性质 在闭区间上连续函数的基本性质包括 ： 最大、最小值定理：若函数 f 在闭区间  ba, 上连续，则 f 在  ba, 上有最大值与最小值 . 有界性定理：若函数 f 在闭区间  ba, 上连续，则 f 在  ba, 上有界 . 介值性定理：设函数 f 在闭区间  ba, 上连续，且    .bfaf  若 u 介于 af与 bf 之间的任何实数     bfaf   或者    bfaf  ，则至少存在一点 bax ,0 ，使得   0xf 根的存在定理：若函数 f 在闭区间  ba, 上连续，且 af 与 bf 异号（即    0bfaf ），则至少存在一点  bax ,0 ，使得   00 xf 即方程   0xf 在  ba,内至少有一个根 . 在局部上连续函数具有的性质包括 ： 局部有界性：若函数 f 在点 0x 连续，则 f 在某  0xU 内有界 . 局部保号性：若函数 f 在点 0x 连 续，且   00 xf （或 0 ），则对任何正数  0xfr (或  0xfr  ），存在某  0xU ，使得对一切 x  0xU 有  rxf  （或   rxf  ） 例 证明：若 0r ， n 为正整数，则存在唯一证书 0x ，使得 rxn0 （ 0x 成为 r 的 n 次正根（即算数根），记作 0x =nr ） . 证明：先证存在性 .由于当 x 时有 nx ，故必存在正数 a ,使得ran .因为   nxxf  在  a,0 上连续，并有    afrf 0 ，故由介值性定理，至少存在一点  ax ,00 ，使得   rxxf n  00 . 再证唯一性 .设正数 1x 使得 rxn1 ，则有    ,0... 1120xx1010   nnnnn xxxxxxx 由于第二个括号内的数为正，所以只能 010 xx 即 10 xx . 例 设函数 。