充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】 ( 1) 若 φ ＝ 0 ，则 f ( x ) ＝ c os x 是偶函数，但是若 f ( x ) ＝c os( x ＋ φ )( x ∈ R ) 是偶函数，则 φ ＝ π 也成立．故 “ φ ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) ＝c os( x ＋ φ )( x ∈ R ) 为偶函数 ” 的充分而不必要条件． ( 2) 由 A ⊆ B ，得

的 充分必要条件 ， 简称充要条件 ， 记作 ． qp  如果 p q ,且 q p , 那么称 p是 q的 充分不必要条件。 如果 p q ,且 q p ,那么称 p是 q的 既不充分也不必要条件 . 、必要条件的基本步骤： （ 1）认清条件和结论； （ 2）考察 p q 和 q p 的真假。  典型例题 • 解 : (1) x=y是 x2=y2的充分不必要条件 .

1:xyyxqyxp 　必要不充分条件 既不充分也不必要条件 充分不必要条件 1．已知： ，则 p是 q的（ ） 32:,50:  xqxpA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 A2．已知： ，则 p是 q的（ ） cbqcabap  :,:A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充

. 解： (1)当 |a|≥ 2时 ， 如 a＝ 3时 ， 方程可化为 x2＋ 3x＋ 6＝ 0， 无实根；而方程 x2＋ ax＋ a＋ 3＝ 0有实根 ，则必有 Δ＝ a2－ 4(a＋ 3)≥ 0， 即 a≤ － 2或 a≥ 6， 从而可以推出 |a|≥ ， 由 q能推出 p， 而由 p不能推出 q， 所以 p是 q的必要不充分条件 ． ( 2 ) 由 “ 四边形的对角线相等 ” 推不出 “

若三角形的三条边相等 ， 则三个角也相等； （ 4） 若 例 对下列命题判断 前者是后者的什么条件 ， 后者是前者的什么条件 （ 1） 若 ； （ 2） 面积相等的三角形是全等三角形； （ 3） 若三角形的三条边相等 ， 则三个角也相等； （ 4） 若 答： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 充分不必要； 必要不充分 充分不必要 必要不充分； 充要； 充要

必要条件 ,简称充要条件 .  一般地 ,如果既有 p q,又有 q p,就记作 P q 这时， p是 q的充分条件，又是 q的必要条件， 我们就说， p是 q的充分必要条件，简称 充要条件。 例： “x是 6的倍数” 是“ x是 2的倍数 ” 的 充分不必要条件 “x是 2的倍数 ” 是 “x是 6的倍数 ” 的 必要不充分条件 “X既是 2的倍数也是 3的倍数”是 的 既不充分也不必要条件

，若 p⇒q为真 ，则 p是 q成立的充分 条 件，若 q⇒p为真 ， 则 p是 q成立的必要 条 件． • (2)注意利用 “成立的 证 明，不成立的 举 反例 ”的 数学 方法技巧 来 作出判 断 ． • (3)关 于充要 条 件的判 断问题 ， 当 不易判 断p⇒q真 假 时 ，也可 从 集合角度入手 进 行判断 ． • (2020北京文 )设 a、 b是实数，则 “ ab”是“

p,即： p q. 则 p是 q的充要条件 . 如果已知 p q, 但 q p,则 p是 q的充分不必要条件 ,q是 p的必要不充分条件 . 练习一 ：说出下列各组命题中， p是 q的什么条件。 q是 p的什么条件。 (1)p: x=y , q: x =y 2 2 2 2 2 2 解：因为： x=y x =y , 且 x =y x=y 所以： p是 q的充分不必要条件， q是 p的必要不充分条件

则说 p是 q的充分不必要条件 pq定义 :如果 p q, ,且 ， 则说 p是 q的必要不充分条件 qp定义 :如果 p q, ,且 q p ， 则说 p是 q的既不充分也不必要条件 ＞  a = 0 ab=0。 要使结论 ab=0成立，只要有条件 a =0就足够了，“足够”就是“充分”的意思，因此称 a =0是ab=0的 充分条件。 另一方面如果 ab≠0，也不可能有 a =0

（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 既充分又必要条件 D． 既不充分也不必要条件 D 必要不充分 3．设 p是 q的充分不必要条件，则 是 的 条件． 二、新课 充要条件 定义 2：如果已知 q p，则说 p是 q的 必要条件。 定义 1：如果已知 p q，则说 p是 q的 充分条件。 定义 3：如果既有 p q，又有 q p，就记作 则说 p是 q的 充要条件。 p q，