垂线

BC， PB=PC， M是 BC的中点， 求证： BC⊥ AM 证明 : PM ⊥ BC ∴ BC⊥ AM ∴ PM是 AM在平面 PBC上的射影 ∴ PA⊥ 平面 PBC ∵ PB=PC M是 BC的中点 ∵ BC 平面 PBC 又 (3) 在正方体 AC1中， 求证： A1C⊥ BC1 ， A1C⊥ B1D1 ∵ 在正方体 AC1中 A1B1⊥ 面 BCC1B1且 BC1 ⊥ B1C ∴

BC1 P M C A B P A O a α A1 C1 C B B1 O A α a P 我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 解题回顾 ，怎么找。 三垂线定理解题的关键：找三垂。 怎么找。 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 注意： 由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 P A O a α P A

PA⊥ 平面 PBC， PB=PC， M是 BC的中点， 求证： BC⊥ AM 证明 : PM ⊥ BC ∴ BC⊥ AM ∴ PM是 AM在平面 PBC上的射影 ∴ PA⊥ 平面 PBC ∵ PB=PC M是 BC的中点 ∵ BC 平面 PBC 又 (3) 在正方体 AC1中， 求证： A1C⊥ BC1 ， A1C⊥ B1D1 ∵ 在正方体 AC1中 A1B1⊥ 面 BCC1B1且 BC1 ⊥

3）如图在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABC是 正三角形 AA1=2, ∠ A1AB=∠ A1AC=600， 求此三棱柱的高 A B C A1 B1 C1 二、应用举例 例题 1，在空间四边形 ABCD中，点 A在平面 BCD内 的射影 O1是三角形 BCD的垂心。 求证： B在平面 ACD内的射影 O2是三角形 ACD 的垂心 B A D C 例题 2，在正方体 AC1中，

与射线、线段或射线与直线垂直，特指它 们所在的直线互相垂直。 （二）垂线的画法 探究： 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条。 经过直线 l上一点 A画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条。 经过直线 l 外一点 B画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条。 注意：过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。 （三）垂线的性质

∴ AB⊥ CD（ 垂直的定义 ）． 如果直线 AB、 CD 相交于点 O， ∠ AOC=90176。 （或三个角中的一个角等于 90176。 ），那么 AB⊥ CD. 这个推理过程可以写成： ∵ AB⊥ CD（已知）， ∴∠ AOC＝ 90176。 （垂直的定义） ． 如果 AB⊥ CD， 那么所得的四个角中，必有一个是直角 .这个推理过程可以写成 : 选择题： 两条直线相交所成的四个角中

1= ∠ 2,求 ∠ ABO, ∠ BOD. 1 2 A B C D O ∵ BO ⊥AC 于 O点 ）（已知） ∵∠ABC=90 176。 ( ) ∠1=60 176。 （ ） 已知 ∴∠AOB=30 176。 解： （已知） ∴∠BOC=90 176。 ∴∠BOD=30 176。 （余角定义） （余角定义） 已知 （垂直定义） 又 ∵ ∠ 2=∠1=60 176。 想一想： D B C A

∠ BOC的补角为 ______度。 O m n 1 B C A O m⊥ n 90176。 72176。 162 B C A O x 5x ∠ AOC＝ 90176。 ＝ 72176。 ， ∠ BOC＝ 90176。 ＝ 18176。 , ∠ BOC的补角＝ 180176。 － 18176。 ＝ 162 176。 折一折 • 在一张半透明的纸上画一条直线 l，在 l上任取一点 P，在

∵DD 1⊥ 平面 ABCD ∴BD 是斜线 D1B在平面 ABCD上的射影 ∵ ABCD是正方形 ∴ AC⊥ BD (AC垂直射影 BD)， ∴ AC⊥ BD1 A1 D1 C1 B1 A D C B 同理 :BA1是斜线 BD1在平面 ABB1A1上的射影 , AB1 ⊥ BD1 而 AC ∩AB1 =A ∴BD 1⊥ 平面 AB1C 证明： 连结 BD， ( 请思考：如何证明 D1B⊥AB