等差数列

)1(1 由此可知，等差数列 的通项公式为  na 当 d≠0时，这是关于 n的一个一次函数。 等差数列的图象 1 （ 1）数列： 2， 0， 2， 4， 6， 8， 10， … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 ● ● ● ● ● ● ● 等差数列的图象 2 （ 2）数列： 7， 4， 1， 2， … 1 2 3 4 5 6 7

已知 a6+a9+a12+a15=20，求 a1+a20 例题分析 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 (3) 已知 a4+a5+a6+a7=56， a4a7=187，求 a14及公差 d. 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得 a1+a20=10 分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ， 又已知

时，前公差的首项等差数列一 nn Sndaa 0,0. 1 借助二次函数最值问题：、利用 .)(1 2122 nanSS ddnn 0021  nnnnnaaSnaa且变化情况，的项和的正负情况与前：借助通项公式、利用  时，公差的首项等差数列二 0,0. 1  daa n 有最小值项和前 nSn借助二次函数最值问题：、利用 .)(1 2122 nanSS ddnn

1≤0,S n的最大值为 Sm； (3)当 a10,d0时 ,Sn有最小值无最大值， 当 am≤0 且 am+1≥0,S n的最小值为 Sm； (4)当 a10,d0时 ,Sn有最大值无最小值， 且最大值为 S1。 变题 {an}满足 3a8=5a13,且 a10, Sn为其前 n项和，问：该数列前多少项 的和最小。 变题 {an}中， a10,Sn为其前 n项 和， S9=S12,

由二次函数的性质可知当 时 最大 . 所以数列 总结：在求等差数列 的前 n项和的最大值或最小值时， 我们要充分利用数列与函数的关系分析解决问题， 因而有如下方法： 即递减 或（ ）成立的最大的 n即可。 时， 即递增，当 时， ：求使 这是因为：当 ：用求二次函数的最值方法来求其前 n项和的最值， 但要注意的是： ：利用二次函数图象的对称性来确定 n的值，使 取得最值。 中，公差为 d， 前

 aaaa例 a和 2b的等差中项是 5， 2a和 b的等差中项是 4，求 a， b的等差中项 . a+2b＝ 10 2a+b＝ 4 2 ∴ a+b＝ 6 ∴ 32ba＝∴ a,b的等差中项为 3 解： 练习 1：求下列各题中两数的等差中项 . ① ② （ a+b） 2与（ ab） 2 2212228 与10A22 baA 例 2. 三数成等差数列，它们的和为 12，首

 ])3([)2( 11 dnada ， 似乎与 的奇偶有关。 n问题是一共有多少个 ， ])1([ 11 dnaa 这个思路似乎进行不下去了。 思路二：   23121 nnn aaaaaa上面的等式其实就是 ， ， nnnn aaaaaaS   12321 为回避个数问题，做一个改写 12321 aaaaaaS

a2－ a1=d, a3－ a2=d, an－ an1=d, …… 将上面 n1个等式的两边分别相加 , 得 an－ a1= (n1)d, 所以 , an= a1+(n1)d, 当 n=1时 ,上面的等式显然成立 . 叠加法 所以当 n≥2时 ,有 例 ｛ an｝中 ,已知 a3=10, a9=28,求 a12 . 等差数列的通项公式一般形式 : an = am + (n－ m)d. 例 ｛

d=a1+3d …. a2=a1+1d a3=a2+d=a1+2d。 为首项；公差 da 1∵a 2a1=d a3a2=d a4a3=d … anan1=d 方法 2 累加法 ： dn 个共 1dnana )( 11 dnana )( 11 如：若一个数列 {an}的首项 a1=3，公差d=2，则 an的通项公式为： an=a1+(n1)d=3+(n1) 2=2n+1 例

).2(12 *1   nNnnaa nn 且基本题型 题型一：求数列通项公式的问题 例 3. 数列 {an}中，已知 ),2(1*1nNnnnaann 且求此数列的通项公式 . ,11 a基本题型 题型二：等差数列的证