二面角
DC＝ AP＝ 2， AB＝ 1，点 E为棱 PC的中点． (1)证明： BE⊥ DC； (2)求直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值； (3)若 F为棱 PC上一点，满足 BF⊥ AC，求二面角 F 173。 AB 173。 P的余弦值． 图 1173。 4 1173。 5，在四棱锥 A 173。 BCDE中，平面 ABC⊥ 平面 BCDE， ∠ CDE＝ ∠ BED＝ 90176。 ，
为锐角，故所求二面角的大小为 arccos(10/5) 如图 ,PA ⊥ 平面 A BC , AC ⊥ B C ,P A =A C =1 , BC = 2 , 求二面角 A PB C 的 余弦值 . zxy练习 2: 如图 , PA ⊥ 平面 AB C , AC ⊥ BC , PA = AC =1 , BC = 2 , 求二面角 A PB C 的 余弦值 . zxy分析 :
2） argcos A O l D 例 已知锐二面角 － l－ ， A为面 内一点 ， A到 的距离为 2 ， 到 l 的距离为 4， 求 二面角 － l－ 的大小。 解 ： 过 A作 AO⊥ 于 O， 过 O作 OD⊥ l 于 D， 连 AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l ∴ AO=2 ， AD=4 ∵ AO为 A到 的距离 ， AD为 A到 l 的距离 ∴∠
○＝ 120○， CA AB ＝ 0 ， AB BD ＝ 0 ∴| CD |2＝（ CA＋ AB ＋ BD ）2 ＝| CA |2＋ | AB |2＋ | BD |2＋ 2 CABD ＝| CA |2＋ | AB |2＋ | BD |2＋ 2 |CA | | BD | c o s＜CA，BD＞ ＝ 62＋ 42＋ 82＋ 2 6 8 c o s120○ ＝ 62＋ 42＋ 82－ 2 6 8
α β B。 O A B1。 O1 A1。 小结：。 复习回顾 等角定理 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。 角来度量的。 一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。 （或 垂直平面）的位置无任何关系， 只与二面角的张角大小有关。 (6)二面角的范围 [0。 ,180。 ] （ 7）直二面角 平面角为直角 的二面角叫做 直二面角 当 堂 小 测
OC⊥ AB交 PM于 C， 在 β内作 OD⊥ AB交 PN于 D， 连 CD，可得 ∠ COD是二面角 αABβ的平面角 设 PO = a ， ∵ ∠ BPM =∠ BPN = 45186。 ∴ CO=a， DO= a ， PC a ， PD a 又 ∵∠ MPN=60186。 ∴ CD=PC a ∴∠ COD=90186。 因此，二面角的度数为 90186。 a O P C 二面角 08
垂线 AC、 BD， C、 D分别是垂足，求二面角 C－ AB－ D的余弦值。 例 2：在所给的空间图形中，四边形 ABCD是 正方形， PD
，侧面 ABD、 ACD是全等的直角三角形， AD是公共的斜边，且 AD＝ ， BD＝ CD＝ 1，另一个侧面是正三角形，求二面角 B－ AC－ D的大小 . A B C D N P E D A C B D1 A1 C1 B1 F 例 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1， P是 AD的中点 ,求二面角 A－ BD1－ P的大小 . 例 (高考题 )⊿ ABC中， AB⊥ BC， SA ⊥
面 内且与棱 CD成 45186。 角 ， 又 AB与平面 成 30186。 ， 求二面角 － CD－ 的大小。 二面角 C O 解：作 BC于 C，连结 AC 过 C作 COCD于 O，连结 OB 由三垂线定理可得： BOCD ∠ BOC是二面角 的平面角 则 ∴ 所求二面角的大小为 45186。 设 AO =a 在 RtAOB中， BO=a, AB= a 在
个半平面 γ， 使二面角 αaγ=45176。 ， 二面角 γaβ=30176。 ， 则 γ内的任意一 点 P到平面 α与平面 β的距离之比为 ( ) (A) (B) (C) (D) 返回 能力 思维 方法 【 解题回顾 】 本题是 1990年全国高考题 ， (1)的证明关系较复杂 ， 需仔细分析。 (2)的平面角就是 ∠ CDE， 很多考生没有发现 ， 却去人为作角 ， 导致混乱 . S—