二重积分

积分的结果： yx设 在矩形 上连续，则   dcbabadcdcbadyyxfdxdxyxfdydx d yyxf ),(),(),(],。 ,[],。 ,[ dcba),( yxf我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果： 定理 前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。 根据积分区域的特点，分三种情况讨论。 }),()(|),{(

为 X型 bxaxyxD  ），()(: 21   作平面则， ,0 bax  0xx 得截面面积  )( )( 00 21 ),()( xx dyyxfxA 一般的  )( )(21 ),()( xx dyyxfxA  , bax     ba ba xx dxdyyxfdxxAV )( )(21 ),()(  

,0),( yxf)(2 xy a bD)(1 xy 可表示为区域 D，)()( 21 xyx   bxa  上连续在区间其中函数 baxx ,)(),( 21 57图 二重积分的计算   来截此曲顶柱体，面的平面现在用平行于 ),( 00 baxxxy O z a 0x bzyx其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形的“曲边”是曲线 0)

变量 ，函数 f(x,y)称为 被积函数 ,f(x,y)dσ 称为 被积表达式 ,(σ) 称为 积分区域 . 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义 ,我们并 没有 f(x,y)≥0 的限 .容易看出 ,当 f(x,y)≥0 时 ,二重积分 在几何上就是以 z=f(x,y)为曲顶，以 (σ) 为底且母线平行于 z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义

ydxedyI212141 yyxydxedy121.解  dxe xy 不能用初等函数表示 先改变积分次序 .原式 xxxydyedxI2211  121 )( dxeexx .2183 ee 2xyxy例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，yxz  ， xyz  ， 1 yx ， 0x ， 0y .解 曲面围成的立体如图 . ,10 

是 (ς) 的左部边界曲线所对应的函数 x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数 x2(y).对 y的积分下限与上限分别是 (ς) 的最低与最高点的横坐标 c 与 d. (3).如果 (ς) 为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。 (4).如果 (ς) 既不是沿 y轴方向的正规区域 ,也不是沿 x轴方向的正规区域 ,那末总可以把它化分成几块沿 y 轴方向的正规区域或沿 x