根与

x x x   设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表 x1 x2 x1 + x2 一元二次方程 0652  xx0352 2  xx026 2  xx5 6 25233161（ 1） x23x+1=0 （ 2） 3x22x=2 （ 3） 2x2+3x=0 （ 4） 3x2=1 的积各是多少。 （不解方程） 例 ，求方程

（二次项系数为为根的一元二次以两个数 ,推论2 X2(2+3)X+2 3=0 即： X25X+6=0 212 ,023:2 xxxx 的两个根分别为设方程 _ _ _ _ _ _ _ _2,2 21 为根的一元二次方程是以 xx X26x8=0 练习： 例 设 X X2是方程 X2－ 4X+1=0的两个根，则 X1+X2 = ___ ,X1X2 = ___， X12+X22 =(

x1+x2 =— =— . 3 2 2 1 例 2 不解方程，求方程 2x2+3x1=0的两个根的（ 1）平方和 （ 2）倒数和 （ 1） ∵ （ x1+x2） 2=x12+ + x22 ∴ x12+x22 = （ x1+x2） 2 =（ — ） 22（ — ） =— 3 2 2 1 13 4 1 （ 2） — +— = ———— = ——— =3 x1 1 x1+x2 x2 1 2 2 3 例

21 21 2321445454111 3 4 3 4 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： abxx 21 acxx 21)0(02  acbxax1x 2x这就是 一元二次方程 根与系数的关系 ，也叫 韦达定理

  的两个实数根，则 12xx___ 15 已知关于 x的方程 x2（ 2k1） x+k2=0 有两个不相等的实根，那么 k 的最大整数值是 16 若方程 2 3 1 0xx   的两根为 1x 、 2x ，则1211xx 的值为 17 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为 3 和 5，乙把常数项看错了，解得两根为 2+ 6 和 2 6

方程的两根和系数，你可以观察到什么。 生：两根和等于一次项系数的相反数 , 两根积等于常数项。 师：大家对于这个结论有什么看法吗。 生（可能）：是不是还要看二次项系数非 1 的一元二次方程呢。 继续探索 ：当二次项系数不在再为 1 时，上述猜想是否仍然成立。 自己想办法探索。 有 3 种可能： 部分同学自定义方程求根求和求积后产生猜想； 还有部分同学对仍保留在板书部分的求根公式着手进行两根和

习兴趣，探究欲望。 二、 探究规律 先填 空，再找规律： 一元二次方程 1x 2x 1x + 2x 1x . 2x 2x +6x16=0 2x 2x5=0 2 2x 3x+1=0 5 2x +4x1=0 思考：观察表中 1x + 2x 与 1x . 2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系。 从中你能发现什么规律。 设计意图

b+ b 2 4 a c2a  b b 2 4 a c2ax 1 =b+ b 24ac2ax 2 = b b24ac2a= 2b2a= ( b + b 2 4 a c ) ( b b 2 4 a c )4 a 2=4ac4a2= b2( b24 a c)4a2=caxx 21 .ab 任意的一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0 ）的x1+x2， a， b， c 的关系是：

推论2 acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程课本 P16例 4 利用 根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为 2和 3. 如果 是方程 2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及 m的值 . 21已知关于 x的方程 x2+(2k+1)+k22=0 的两根的平

cbbxx2424 2221aacbbacbb244 22 ab22abaacbbaacbbxx2424 2221 22244aacbb 244aacac 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： abxx 21 acxx 21)0(02  acbxax1x 2x这就是一元二次方程 根与系数的关系