归纳法

n=k到n=k+1有什么变化 用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当 n取第一个值 n0结论正确； (2)假设当 n=k(k∈ N*，且 k≥n0)时结论正确， 证明当 n=k+1时结论也正确 . 由 (1)， (2)可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确。 评析： 分析下列各题用 数学归纳法 证明过程中的错误： 练习 这就是说，当 n=k+1时 ,命题也成立 . 1 1 1

断定这个命题对从 n0开始的所有正整数 n都成立。 这种证明方法叫做数学归纳法。 验证 n=n0时命题成立 若 当 n=k(kn0 )时命题成立 , 证明当 n=k+1时命题也 成立 命题对从 n0开始的所有正整数 n都成立。 证明： （ 1）当 n=1时， 左边 =12=1 右边 = 1 等式成立 (2)假设当 n=k时等式成立 ,即 6)12)(1(321 2222 ++=+•••+++

据 （ 1） 和 （ 2） ， 可知不论有多少块砖 ， 都能全部倒下。 （ 1）当 n=1时，猜想成立 根据 （ 1） 和 （ 2） ， 可知对任意的正整数 n， 猜想都成立。 通项公式为 的证明方法 1na n（ 2） 若当 n=k时猜想成立 ， 即 ， 则当 kak1111  ka kn=k+1时猜想也成立，即。 归纳类比 当一个命题满足上述（ 1）、（ 2） 两个条件时

证明 : ⑴当 1n  时 , 有1 1a ，命题 成立 . ⑵设当 nk( 1 )k ≥时，命题成立，即若 k 个正数12, , , ka a a的乘积12 1ka a a , 那么它们的和12 ka a a k   ≥. 那么 当 1nk  时 , 已知 1k  个正数1 2 1, , , ,kka a a a 满足1 2 1 1kka a a a  . 若 1k

那么根据（ 1）、（ 2） , 就可以断定命题P(n)对一切正整数 n （ ≥n0 ）都成立． (1) P(n)对无限多个正整数 n成立。 ：设 P(n)是一个与正整数 n有关的命题，如果 : (2) 假设当 n＝ k (k∈ N*, k≥n0 +1) 时 P(k)成立 , 由此推得当 n＝ k1时 P(k1)也成立． naaa , 21 n nn aaanaaa 2121 例

2、)用数学归纳法证明“ n1) 3( n2) 3(nN *)能被9整除” ，要利用归纳假设证 n k1 时的情况，只需展开()A( k3) 3 B( k2) 3C( k1) 3 D( k1) 3( k2) 3答案A解析因为从 n k到 n k1 的过渡，增加了( k3) 3，减少了 利用归纳假设，只需将( k3) 3展开，证明余下的项 97 k27 能被 9整除4某个命题与正整数 n k(kN

     两个步骤和一个结论缺一不可 :  第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳奠基（基础） ；  第二步是 归纳步骤 ，是推理的依据，能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设 n=k时成立” 称为 归纳假设。  第三步是总体结论，也不可少。 例 2+4+6+8+…+2n=n 2+n+1(nN*) 证明 ：假设当 n=k时等式成立，即

k + k ( k + 1 ) k ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) + 2 ( k + 1 )= + =4 k + 2 ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ) 2 ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )( k + 1 ) ( 2 k + 3 k + 2 k + 2 ) ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) ( k + 2 )==2 ( 2 k + 1 ) ( 2

2、识有限与无限的辩证关系；教学重点：理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤教学难点：数学归纳法中递推思想的理解教学方法：引导发现法教 学 过 ：袋子中有 5 个小球，如何证明它们都是绿色的。 情景设置 2情景设置 3 费马猜想：形如 2n +1, n=0、1、2的数都是质数1640 年，费马验证了 , , 7, 57, 5537 都是质数后，就得出了以上猜想。 1732

 .2413)22)(12( 12413)22 112 1(2413  kkkk即当 n=k+1时 ,不等式也成立 . 由 (1)、 (2)原不等式对一切 都成立 . 2,  nNn练习求证：当 n2,nN时 ， 109312111  nnn 证明： 当 n=2时， 109605761514131 左∴ n=2时原不等式成立 假设 n=k