抛物线

椭圆的标准方程时，选择不同的坐标系得到不同形式的标准方程。 那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式。 探究后填写下表： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 例题 1：（ 1）已知抛物线的标准方程是 y2=6x ， 求它的焦点坐标和准线方程 解 （ 1） ∵ 抛物线方程为 则焦点坐标是 ， 准线方程是 （ 2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0,2)， 求它的标准方程 . （ 2） ∵ 焦点在

P1( x1， y1) ， P2( x2， y2) ， ∴ y1＋ y2＝6k， y1 y2＝6 － 24 kk. ∵ P1P2的中点为 ( 4 , 1 ) ， ∴6k＝ 2 ， ∴ k ＝ 3 ， ∴ 所求直线方程为 y － 1 ＝ 3 ( x － 4 ) ， 即 3 x － y － 11 ＝ 0. ∴ y1＋ y2＝ 2 ， y1 y2＝－ 22 ， ∴ | P1P2| ＝ 1 ＋1k2

上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 点评：本题用了分类讨论的方法 .若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。 当 k=0时， x= ,y=1. 例 3 在抛物线 上求一点，使它到直线 2xy4=0的距离最小 . 解：设 P(x,y)为抛物线 上任意一点，则 P到直线 2xy4=0的距离 此时 y=1， 当且仅当 x=1 时 ， ， 所求点的坐标为 P(1,1).

x∈ R l F y x O 12p x x 12()p x x 12p y y 12()p y y02p x02p x02p y02p y关于 x轴对称 关于 x轴对称 关于 y轴对称 关于 y轴对称 （ 0,0） （ 0,0） （ 0,0） （ 0,0） 例 F的直线交抛物线于 A,B两点 ,通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D,求证 :直线

解 :因焦点在 y轴的负半轴上 ,则抛物线的标准方程为 x 2 = － 2py ，易知 p=4,故其标准方程为 :x 2 = － 8y。 解：由 y2 = 6x可知对应的抛物经开口向右，又 因为ｐ＝３，故焦点坐标为 ，准线方程为 解 :标准方程为 : ， 故 是开口向下的抛物线。 ,焦点坐标为 , 准线方程为 例 求过点 A（－ 3， 2） 的抛物线的标准方程。 ． A O y x ①

62 p 3 p此抛物线的焦点坐标是 ， )023( 准线方程是 .23x，抛物线焦点是 )20()2( F，22  p ，4 p 抛物线方程是 .82 yx （ 3）已知抛物线的标准方程是 y= 6x2，求它的焦点坐标和准线方程 . 知：由 yx 61)3( 2  ，612 p 121 p此抛物线的焦点坐标是 ， )2410( 准线方程是

x y o K F l M N y x o ﹒ ﹒ y x o ﹒ y x o ﹒ y x o 图 形 焦 点 准 线 标准方程 抛物线标准方程的再认识：（ 焦准距 p＞ 0 ） 对于 y2 = 2px。 y2 = – 2px。 左边是 ，右边是 ； 一次项系数 大于 0时焦点在 ， 一次项系数 小于 0 时焦点在。 由此可得出： 焦点的位置由一次项及其系数的正负而决定， 对于 x2 = 2py

q ayxakxy241联立016 1)12 1( 22222 kayaakky221221 161,221ayyakyy  aqp 411 线：对于顶点在原点的抛物:51 3 5P轴上，焦点在 y)1(轴上，焦点在 x)2(，的点到焦点距离为抛物线上横坐标为 61)3(，抛物线通径为 5)4(，的直线作垂线，垂足为由原点向过抛物线焦点 )1

椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线 y y x 以 代 ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把 抛物线的对称轴 叫做抛物线的 轴 ． yox)0,2(pFM(x,y) M1(x,y) 定义 ：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点 只有一个顶点 X Y 三、抛物线的顶点 y2=2px 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点． 0y

线与 抛物线交于交点 A （ x1， y1） 、 B （ x2， y2），设直 线 l的倾斜角为 θ。 （ 1）求证： ； （ 2）求△ AOB的面积。 经过抛物线 y2=2px（ p＞ 0）的焦点 F的直线 l的特点 若 l与抛物线有交点 A （ x1， y1） 、 B （ x2， y2）， 则 AB= x1+ x2+p 若 AB的中点为 C（ x0， y0），则 AB=2x0+p y1