奇偶性
定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 就叫 偶函数。 )(xf)(xf)()( xfxf 奇函数 如果函数 是奇函数或者是偶函数，那么就说 具有 奇偶性。 )(xf)(xf 奇偶性 深化概念 一般地，如果对函数 定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 就叫 奇函数。 )()( xfxf )(xf)(xfQ5: 奇函数的定义域有何特征。 定义域关于原点对称 判断奇函数的 前提 奇偶性
11).1()()0)(1()0)(1()(xxxxxxxf221)( 2xxxf二．应用举例 例 2． 定义在实数集上的函数 f(x)， 对任意 x， y∈ R， 有f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)且 f(0)≠0 ① 求证： f(0)=1 ② 求证： y=f(x)是偶函数 练 ：定义在 R上的函数 y=f(x)， 对任意 x1，
x)=x=f(x).这时我们称函数 f(x)=x为奇函数 . 同样我们也能说明函数 f(x)= 也是奇函数 . （ 3）能利用函数解析式描述函数图像这个特征吗。 x1 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做 奇函数 . 定义 2 (2)定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法 . （ 1)由定义知，若 x是定义域中的一个数值，则 –
函数 ,而且在 (0,+∞)上是减函数 ,那么 y=f(x)在 (∞,0)上是增函数还是减函数 ?。
f(x)=f(x), 那么称 函数 y=f(x)是奇函数。 如果函数 y=f(x)是奇函数或偶函数，我们就说 函数 y=f(x)具有奇偶性。 由以上的讨论容易知道， 偶函数的图象关于 对称 ； 奇函数的图象关于 对称。 y轴原点例 判定下列函数是否为偶函数或奇函数： （ 1） f(x)=x21 (2) f(x)= 2x (3) f(x)=2|x| (4) f(x)=(x1)2 (5)
2、于 轴 对 称()是 奇 函 数 |) 函 数 的 运 算具 有 奇 偶 性 的 两 个 函 数 在 公 共 定 义 域 上 有 ：奇 奇 奇 、 奇 奇 偶 、 奇 偶 奇 、 偶 偶 偶单 调 性 的 性 质 若 ， 则 与 的 单 调 性 相 同 ； 若 ， 则0k()f 0k与 的 单 调 性 相 反() 若 ， 则 与 的 单 调 性 相 反 ；0f1()具 有 单 调 性 的 两
函数具有奇偶性的必要但不充分条件。 ]1,3[22 由于时当 ，x故 f(2)不存在，所以就谈不上与 f(2)相等了，由于任意性受破坏。 所以它没有奇偶性。 解： （ 4） （ 5） 函数的定义域为 [2,2),故 f(2)不存在，同上可知函数没有奇偶性。 （ 6） )()()()(,12)(xfxfxfxfxxf 且 故函数没有奇偶性。 ])2,3[( x思考
命题也成立，即 若 f(x)为奇函数，则 f(x)=f(x)有成立 . 若 f(x)为偶函数，则 f(x)=f(x)有成立 . 如果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有 奇偶性 . 例 判断下列函数的奇偶性： 2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf (1)解：定义域为 R ∵ f(x)=(x)4=f(x) 即
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。 故 f(2)不存在，所以就谈不上与 f(2)相等了，由于任意性受破坏。 所以它没有奇偶性。 解： （ 4） （ 5） 函数的定义域为 [2,2),故 f(2)不存在，同上可知函数没有奇偶性。 （ 6） 故函数没有奇偶性。 ])2,3[( x思考： 在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函
奇偶性定义 那么称 是 偶 函数 ()y f x()fx如果对于函数 的定义域内的 任意 一个 , 都有 x( ) ( )f x f x那么称 是 奇 函数 ()y f x如果对于函数 的定义域内的 任意 一个 , 都有 x( ) ( )f x f x ()