奇偶性

2、号奇 函 数设 函 数 y f(x)的 定 义 域 为 ， 如 果 对 的 任 意 一 个 ， 都 有 ， 且， 则 这 个 函 数 叫 做 奇 函 数()(若 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则 函 数 对()(任 意 都 成 立偶 函 数设 函 数 y f(x)的 定 义 域 为 ， 如 果 对 的 任 意 一 个 ， 都 有 ， 且， 则 这 个 函 数 叫 做 偶 函

定义的逆命题也成立，即 若 f(x)为奇函数，则 f(x)=f(x)有成立 . 若 f(x)为偶函数，则 f(x)=f(x)有成立 . 如果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有 奇偶性 . 例 判断下列函数的奇偶性： 2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf (1)解：定义域为 R ∵ f(x)=(x)4=f(x) 即

n x＝－ f ( x ) ， ∴ 函数 f ( x ) ＝ lg1 － s i n x1 ＋ s i n x为奇函数． 规律方法 判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称，如果是，再验证 f ( － x ) 是否等于－ f ( x ) 或 f ( x ) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． 【变式 1 】 判断函数 f ( x ) ＝1 ＋ s i n x

f (x) ，那么函数 f(x)就叫做 奇函数 . 奇函数 函数图象关于原点轴对称 1. 2. 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫做 偶函数 . 偶函数 函数图象关于 y轴对称 f (x)= f (x) 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f (x)=－ f (x) ，那么函数 f(x)就叫做 奇函数 . 奇函数

函数． (4) f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2的定义域是 { － 1,1 } ，关于原点对称， 在定义域内化简 f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2＝ 0 ， 所以 f ( － 1) ＝ f (1) ＝ 0 ，且 f ( － 1) ＝－ f (1 ) ＝ 0 ， f ( x ) ＝ x2－ 1 ＋ 1 － x2既是奇函数又是偶函数． [题后感悟 ]

)= cosx (xR) y=cosx (xR) 是 偶函数 定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性 例 1：判断函数奇偶性 (1) y=sin3x x∈ R (2) y=|sinx|+|cosx| x∈ R (3) y=1+sinx x∈ R 解 :(1)f(x)=sin［ 3(x)］ =(sin3x)=f(x), 且 f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。

12+x1x2+x22) ∵ x1x2, ∴ f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故 f(x)在 (∞,+∞)上是减函数 练习三 已知 f(x)=2x3,则 f(2)______f(1)。 已知二次函数 f(x)的图像是一条开口向下且对称轴 为 x=3的抛物线，则 (1) f(6)_______f(4) (2) f(2)_______

函数． 定义域关于原点对称 三、建构数学： 探究 1： 有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点。 函数 f(x)=x2,x [3,2]具有奇偶性吗。 为什么。  如果函数 y=f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数 y=f(x)具有奇偶性。 － 3 2 x y 例、判断下列函数的奇偶性： (1)解：定义域为 R ∵ f(x)=(x)4=f(x)即 f(x)=f(x) ∴ f(x)偶函数

()()1(222是偶函数xxfxfxxxf解 23( 3 ) ( ) .h x x x232 3 2 3( 3 ) ( ) ,( ) , ( ) , h x x xf x x x h x x x       而333( ) ( ) ( ) ,()( 2) g x x x g xg x x      是奇函数 0 , ( ) ( ) , (

  (1) ( 1)ff  ( 2) ( 2)ff  对于 内的任意实数 a,都有 ( , 0) ( 0 , )   1()1()faafaa  ( ) ( )f a f a   ( , 0) ( 0 , )a     4. 定义：如果对于函数 的定义域 D内的任意实数 a， 都有 ，那么就把函数 叫做奇函数。 ()y f x()y f