数列

 nn22答案：( 1 ))11(1nnnxxxxx ( 2 )裂项相消法 适用于数列的各项可以拆分成 一正一负的两项 ,求和时 ,一些正负项能相互抵消 的数列求和 .抵消后 ,前 n项和就变成首位若干项的和 . 常见裂项技巧： )。 11(1)( 1)1( knnkknn )。 (11)2( nknknkn )。 12 112 1(21)12)(12(

悟：从方程的角度研究数列， 融合各章节的知识。 你会 8种以上的方法吗。 感悟：从不等式的角度研究数列， 如线性规划、不等式性质、均值不等式等。 设等差数列 {}na的前 n 项和为nS，若45 1 0 1 5SS  ，则4a的 最 大 值为 ． 破解数列题的“律”的策略 感悟：从函数的角度研究数列 从等差数列自身的体系中解题 的最大值。 的求使：

、奇偶数列、自然数平方数列、倒数数列、 幂数列、符号数列等。 2 3  )2()1(11nSSnSannn2．利用前 n项和与通项的关系求通项公式 nnnn aSSa 求出方法一：直接利用 1nnnnnnnnaSSSaSSa，再求递推关系式，求出的与，得出消去方法二：利用 11 例 1 例 2 1 3 nnnn aanSSa ，求，：已知例

1 ② 将 ① 式减 ② 式得 : 2Sn=2(3+32+… +3n)2n3n+1=3(3n1)2n3n+1. ∴ Sn= +n3n+1. 3(13n) 2 数列 {an} 的通项公式 为 an=2n. 13 变式 .将上题 (2) 中“ bn=an3n ” 改为“ bn=anxn(x )”, 仍求 {bn} 的前 n 项和 . 已知数列 {an} 是等差数列 , 且 a1=2,

线，并且推算美国 1990 年人口总数是多少。 年份 人口数（千人） 1880 43403 1890 55101 1900 66809 年份 人口数（千人） 1910 81732 1920 94821 1930 110287 年份 人口数（千人） 1940 118215 1950 134942 1960 158455 【 tY 6 9 1 9 6  ， 1990年人口数 1623130】

11na n n na n n n     … 2143，即 用心 爱心 专心 1 2 311n n n na n n n     … 2 1 24 3 ( 1)nn   。 类型四： 11n n na pa qa 思路（特征根法）：为了方便，我们先假定 1am 、 2an。 递推式对应 的特征方程为2x px q，

a1＝ 1， an＋ 1＝ 3an＋ 2； (2)a1＝ 1， an＝ n－ 1n an－ 1(n≥ 2)； (3)已知数列 {an}满足 an＋ 1＝ an＋ 3n＋ 2，且 a1＝ 2，求 an. [审题视点 ] (1)可用构造等比数列法求解． (2)可转化后利用累乘法求解． (3)可利用累加法求解． 解 (1)∵ an＋ 1＝ 3an＋ 2， ∴ an＋ 1＋ 1＝ 3(an＋ 1)， ∴

 nn有项都能使不等式 成立即可 .  || aa n注 这里我们将 N 取为正数 , 而非正整数 . 实际上 N 只是表示某个时刻 , 保证从这一时刻以后的所 返回 后页 前页 没有定义 . 2) 任给正数 , 限制 由  .1,)a rc s i n(s i n1s i n01s i n   nn.ar c s in1 即可N可知只需取 注 这里假定 0

Nn ， 74nT ． 点评： 本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 na 的通项 na ，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者 放缩之后可以裂项相消求和。 【反馈演练】 1．已知数列 }{na 的通项公式 *2 1( )na n n N  ，其前 n 项和为 nS

}的通项公式 . (2) 证明 :数列 { an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是 :对任意 Nn  ,三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列 . 32．（ 2020 湖北理 ） 已知等差数列 {}na 前三项的和为 3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ )求等差数列 {}na 的通项公式。 (Ⅱ )若 2a , 3a , 1a 成等比数列 ,求数列 {|