数学分析

1ln nn ,又当 0 时，  1 1lnn nn 收敛，当 0 时，级数 1 1lnn nn 发散，原题得证 7. 由 拉 格 朗 日 定 理 ， nfnfnf n )(39。 )()2(  ， 其 中nn n 2 0)()2(lim)(39。 lim   n nfnff nnn  ，原题得证 8.（ 1）应用数学归纳法，当

  因而 f (x)不是 x 时的无穷大量 . 有.0)(,)(  nn yfxf两个无穷大量也可以定义阶的比较 . 设 .)(l i m)(l i m00  xgxf xxxx返回 后页 前页 的高阶是关于则称若 )()(,0)( )(0xfxgxg xfxx无穷大量 . 使和正数若存在正数 ,.2 KL,),( 0 时xUx ,)( )( Kxg xfL

[ , ] ,f b b界 设 在 上的振幅为 则.2)(2)(   mMmM,...: 110    bxxxaT n使 .2Tii x 则存在分割 [ , ]f a b 由于 在 上连续, [ , ]M m f a b其 中 与 分 别 为 在 上 的 上 确 界 与 下 确令 ,...: 10 bxxxaT n

x    这就证明了所需的结论 . 0202 | | ,1xxx返回 后页 前页 在上面例 题中 , 需要注意以下几点： , 我们强调其存在性 . 换句话说 , 对于 固定 1. 对于 的 , 不同的方法会得出不同的  , 不存在哪一个更 好的问题 . 数 都可以充当这个角色 . 3. 正数  是任意的 ,一旦给出 ,它就是确定的常数 . , 那么比它 更小的正

)l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD注意 : ,千万不要把导数乘积公式 (2) ()u v u v   记错了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxxDDD例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x

1 ,g u u u因 为 在 连 续 所 以.112)s i n2(lims i n2lim 10   x xx x xx例 3 .)11s i n(lim xx x求解 1lim ( 1 ) e , sin e ,xxuux  因 为 在 点 连 续所以 .es i n)11s i n(lim xx x.0))1(lims i n ()1s i n

22204 ( ) ( ) ds x t y t t因 此   π 2222204 3 c o s sin 3 sin c o s da t t a t t t  π201 2 sin c o s da t t t π220s i n122ta .6a例 1 33c o s , s in , [ 0 , 2 π ]x a t y a t t  求 星 形

存在着一个 只依赖于的自然数 N ，使得当 Nn  时，对区间 I 上的一切x，都有不等式 ( ) ( )ns x s x  成立，则 称 函数项级数  1)(nnxu 在区间 I 上 一致收敛 于和 )( xs ，也称函数序列 )( xsn在区间 I 上一致收敛于 )( xs ． 定义 只要 n 充分大 )( Nn  , 在区间 I 上所有曲线 )( xsyn将位于曲线

 .1 Ce xx  121(1 ) x xe d xx例 20 求 .258 12 dxxx 解 dxxx  25812 dxx  9)4(12dxx 13413122    341341312xdx.3 4a rc t a n31 Cx 例 21 求 .1 1 dxe x 解 dxe x 1

) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff当 πx  时 , 由于     1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff21410 c o s ( 2 1 ) 0 ,2 ( 2 1 )nnn   2221118 3 5    即0,x 当 时 由