特征值

个基础解系化简求得此方程组的一).0(8 1111数为实的全部特征向量为属于  kk .021,101:,0424,022,0424:0)(,122321321321232基础解系求解得此方程组的一个的一个基础解系求相应线性方程组同理对xxxxxxxxxxAE., 1

n  210 , 0 , 1111111111)(vvvvyk    111111)(vvykkk数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 01  时，有 )(1)1(1kkyvx01  时

1223231pxxxx线性无关特征向量为得 由于线性无关特征向量个数为 2≠3， 因此该矩阵不能对角化 . (4)可对角化矩阵的简单应用 (i)由特征值和特征向量反求矩阵 A: A=PΛ P–1 (ii) 求方阵的幂 : Ak=PΛk P–1 例 3 3阶方阵 A有三个不同的特征值 λ1=1,λ2=2, λ3 , 对应的特征向量分别为 ,211,212

系.1)0( 322 的全部特征值是对应于所以  kpk例３ 设 ,314020112A求 A的特征值与特征向量． 解 314020112EA  ,2)1( 2   02)1( 2  令.2,1 321  的特征值为得 A  由解方程时当 .0,11  xEA

是实的，特征方 程的根也可能是复的，而且根的多重数可以是任意的甚至可以是 n 重根。 这些根统称矩阵  的特征值。 关于特征值，有必要先集中介绍以下术语： （ 1） 称  的特征值  具有代数多重度 （ algebraic multiplicity）  ，若  是特征多项式 det( z   的  重根。 （ 2） 若特征值  的代数多重度为 1

100020101)(200110001)(200010011)(121)().(211.DCBAAex 相似的矩阵是与矩阵.,).(7 1为对角矩阵使正交矩阵则为实对称矩阵若定理 AQA 实对称矩阵的对角化： mmnniniiinii

nknnkknknnkkkvavavavavavax1212211111211221111)1(数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS   

构成 V2的一个基，所以 V2＝ L（ α 1+α 2+α 3）．因此 σ 的属于特征根 2 的一切特征向量为 k（ α 1+α 2+α 3）， k∈ R， k≠ 0． ④ 注意：求 A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在 C 内讨论；表示属于某个特 征根的特征向量 (关于基础解系 )组合系数要取自指定的数域 F(或 C)，且不全为零 矩阵的特征值与特征向量分 析及应用 9

考虑 n阶矩阵的情况： 设矩阵 nnRA  是对称矩阵，记 AA0 ，对 A 作一系列旋转相似变换，即 ),2,1(1   kPAPA Tkkkk 其中  ,2,1kAk 仍是对称矩阵， kP 的形式 )()()()( kijkijkjjkii PPPP  也就是  s in,c o s )()()()(  kqpkpqkqqkpp pppp

   )1)(2(00)1)(2(10201)1)(2(104830201)3(rrrrr)1(rr4r23321312 由定理 1，令 0)1)(2( 2  ， 得矩阵 A 的特征值为 1,2 321 。 当 2 时， (A－ λE)已是标准上三角形矩阵