微分

0)( xxf),( xoxAy  ,)( xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则).()( 00 xfAxxf 且可导,在点即函数三、可微与可导关系 (2) 充分性 ),()( 0 xxxfy 从而,)( 0  xfxy即可导,在点 0)( xxf),(lim 00 xfxyx 

0相应于自变量增量 △x 的 微分 ，记作 dy， 即： = 通过上面的学习我们知道：微分 是自变量改变量 △x 的线性函数， dy 与 △y 的差是关于 △x 的高阶 无穷小量，我们把 dy称作 △y 的 线性主部。 于是我们又得出： 当 △x→0 时， △y≈dy. 导数的记号为： ， 现在我们可以发现，它不仅

的运算法则对照一下： 函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。 例题： 设 ，求 对 x3的

)l i m ( )xu x x u x v x xxDD DD注意 : ,千万不要把导数乘积公式 (2) ()u v u v   记错了 . 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .u x v x u x v x0000( ) ( )li m ( )xv x x v xuxxDDD例 1 10 1 1( ) .nn nnf x a x a x a x

t t  不一定为 0, 而当 x 为自变量时 , 它比 (6) 式多了一项 2( ) d ,f x x ()xt当 时 , 2d d ( ( ) d ) ( ) d d ( ) d ( d )y f x x f x x x f x x    2 2 2 2 2 c o s , 2 c o s 4 s in .y t t y t t t   于是 由

u u x u x x xx u x     意义了 . 解 分解成 这两个 2s inyx将 2s iny u u x与于是由链式法则 , 有 基本初等函数的复合， 返回 后页 前页 例 6 ( , 0 ) .y x x 求幂函数 是实数 的导数解 lne e lnxuy x y u x    由与复合而成 , l n 1( ) ( e ) e

, ( 3 )( 1 c os ) ,x a t ty a t .y 的二阶导数解 首先讨论一般参变量函数 的二阶导数 . 这个函数的一阶导数为 ( ) ,( ) ,xtyt 返回 后页 前页 把它写成参数方程 : d ( ) ,d ( )ytxt( ) ,d ( ).d ( )xtytxt22d d d d d ( ) ( )

若曲线 由极坐标方程    ( ) 给出 , 则 C可以把它转化成以极角  为参数的参数方程 返回 后页 前页 dd ,ddxy如果 存在,0dd x且 则 d ( ( ) si n ) ( ) si n ( ) c osd ( ( ) c os ) ( ) c os ( ) si nyx                  (

xf 在  ba, 上满足中值定理的条件 . 例 当 0s 时 , 证明  11211 11   snnsn sssss  分析 不等式两端的式子中都是 1s 次幂 , 而不等式的中间却是 s 次幂 , 因此考虑到应用微分中值定理 . 证明 令   1 sxxf , 则     sxsxf 139。  , 从而     11 

yyyyyyyxys i n111)s i n1(0s i n10s i n1)解：（导数与微分 exeeyyxxeeyexeyyxeeyyxeyxyyyyyyyyyy01|1)0(101)1(0)0(12)时解：求（导数与微分 25|1)2(21|1)2()4,2(),0,2(,4,0,44421