正弦
正弦定理、余弦定理 CcBbAas i ns i ns i n 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等，即 正弦定理可以解什么类型的三角形问题。 已知两角和任意一边 ， 可以求出其他两边和一角；已知两 边和其中一边的对角 ， 可以求出三角形的其他的边和角 . 正弦定理、余弦定理 例题讲解 例 1 在 中，已知 ，求 b（ 保 留两个有效数字） . ABC
b c O D ∠ A=∠ D 正弦定理 在任意一个三角形中， 各边 和它所 对角的正弦 的比相等，即 注意： 定理适合任意 三角形。 正弦定理的应用 : 一、解斜三角形； 二、在三角形中实现边角互化 . 2si n si n si na b cRA B C= = =（ 2R是三角形外接圆的直径 ） 正弦定理在解斜三角形中的两类应用 : (1)、已知两角和任一边 ,求一角和其他两条边 .
① a ＝b sin A ② a ≥ b b sin A a b a b sin A a b a ≤ b 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解 [分析 ] 已知两边及其一边对角的值 ， 求其他边和角可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值 ， 或利用三角形中大边对大角考虑解的情况 ， 可由正弦定理求其他边和角 ． 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解。 有解的求其
， cos2 22cos sin ， tan222tan1 tan． （ 5）①解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号；②在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围 ． （ 6）注意找已知式与待求式之间角的差异，实现角的变换 ． 常见角的变换如下：22
b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即 si n si n si na b c==A B C（注意： 正弦定理对 任意三角形都成立 ）． （ 2） 一般地，把三角形的三个角 A， B， C 和它们的对边 a， b， c 叫做三角形的 元素． 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形． 学霸推荐 1．在 ABC△ 中， 角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 若 a＝
（ 1 ）s in s in s in, , , s in s in , s in s in , s in s ins in s in s inA a C c B b a B b A a C c A b C c BB b A a C c ． （ 2 ）s in s in s in s in s in s in s in s in s in s in s in s ina b
B b A a C c ． （ 2 ）s in s in s in s in s in s in s in s in s in s in s in s ina b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C ． （ 3） : : s i n : s i n : s i na b
状．一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形．如（ 3）中， 注意到 ,abc在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．学 * 科 学霸推荐 1．在 ABC△ 中，角 A ， B ， C 的对边分别为，，且 2cos 22B a cc ，则 ABC△ 的形状为
断所求这个角是 锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边 ． 学霸推荐 1．在锐角三角形 ABC 中，角 ,AB所对的边长分别为 ,ab．若 2 sin 3a B b ， 则角 A 等于 A． π12 B． π6 C． π4 D． π3
—— 边化角， 已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状．一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形．如（ 3）中， 注意到 ,abc在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状． 学霸推荐 1．在